Złożony proces Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Złożony proces Poissonaproces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Złożony proces Poissona \left\{X_{t}\right\}_{t \geqslant 0} zadany parametrem \lambda\in\mathbb{R}_{+} oraz funkcją gęstości prawdopodobieństwa f ma dla dowolnego t \geqslant 0 postać:

X_{t} = \sum_{i=1}^{N_{t}} Y_{i} ,

gdzie:

  • \left\{N_{t}\right\}_{t \geqslant 0} jest procesem Poissona o parametrze \lambda,
  • Y_{1}, Y_{2}, \dots są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie danym gęstością f,
  • zmienne Y_{1}, Y_{2}, \dots są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \left\{X_{t}\right\}_{t \geqslant 0} jest złożonym procesem Poissona, ma następujace własności:

\phi_{X_{t}}\left(u\right) = \exp\!\left(\lambda t \int \left(e^{i u x} - 1\right) f\!\left(x\right) dx\right) .

Związek z procesem Lévy'ego[edytuj | edytuj kod]

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy'ego. Ponadto, jeżeli proces Lévy'ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.

Przypisy

  1. R. Cont, P. Tankov, Financial Modelling With Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, CRC Press Company, 2004.