Złota spirala

Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.

Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik b jest stałą zależną od φ (gdzie φ jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie φ razy.

Wzór

Ogólne wzory na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych:

$r = ae^{b\theta}\,$

oraz

$\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

(gdzie e – podstawa logarytmu naturalnego) mają również zastosowanie w przypadku złotej spirali. W tym przypadku θ jest kątem prostym, b jest stałą rzeczywistą, zaś r/a=φ (gdzie φ jest „złotą liczbą”). Stąd mamy wzór:

$e^{b\theta}\, = \varphi$

Wartość $b$ wyraża się wzorem:

$b = {\ln{\varphi} \over \theta}.$

Wartość b może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, w którą stronę skierowany jest kąt prosty θ. Wartość bezwzględna z b wynosi:

$|b| = {\ln{\varphi} \over 90^{\circ}} = {0.0053468 \over 1^{\circ}}\,$ dla θ wyrażonego w stopniach;

$|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} = 0.306349\,$ dla θ wyrażonego w radianach.

Przybliżenia złotej spirali

Znanych jest wiele spiral będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Zobacz też

• Ciąg Fibonacciego
• Złoty podział
• Spirala
• Spirala logarytmiczna

Bibliografia

• Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press, 1999, s. 14–16. ISBN 0967172764. (ang.)
• Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co, 2005, s. 127–129. ISBN 1402735227. (ang.)

Linki zewnętrzne

• Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project