Złota spirala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.
Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik b jest stałą zależną od φ (gdzie φ jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie φ razy.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Ogólne wzory na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych:

r = ae^{b\theta}\,

oraz

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

(gdzie e – podstawa logarytmu naturalnego) mają również zastosowanie w przypadku złotej spirali. W tym przypadku θ jest kątem prostym, b jest stałą rzeczywistą, zaś r/a=φ (gdzie φ jest „złotą liczbą”). Stąd mamy wzór:

e^{b\theta}\, = \varphi

Wartość b wyraża się wzorem:

b = {\ln{\varphi} \over \theta}.

Wartość b może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, w którą stronę skierowany jest kąt prosty θ. Wartość bezwzględna z b wynosi:

|b| = {\ln{\varphi} \over 90^{\circ}} = {0.0053468 \over 1^{\circ}}\, dla θ wyrażonego w stopniach;
|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} = 0.306349\, dla θ wyrażonego w radianach.

Przybliżenia złotej spirali[edytuj | edytuj kod]

Znanych jest wiele spiral będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]