Złoty podział

Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi").

Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

Wartość złotej liczby φ

Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.

Liczba φ
Ułamek łańcuchowy	$[1; 1, 1, 1, \dots]$ $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}$
Ułamek zwykły	$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\varphi=\frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a}=\frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b}$

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}$

czyli

$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

φ² − φ − 1 = 0

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

$\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$

jedno z nich jest dodatnie:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989$

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

$\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989$

Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots$

co daje kolejno:

$\frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots$

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:

$\varphi_0=1\;$

$\varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n}$

W haśle Liczby Fibonacciego można znaleźć dowód, że

$\varphi_n\rightarrow\varphi$

Złoty podział w pięciokącie foremnym.

Przykłady występowania złotej liczby

• Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału.
• Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza można wykazać, że bok $a\,$ pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej $b\,$:

$b={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\cdot a.$

• Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
• $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 \right)=\frac{1}{\varphi}$.

Przykład konstrukcji złotego podziału

Kolejne kroki konstrukcji:

1. Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku $a\,$.
2. Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
3. Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek $c\,$) i odłóż go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
4. Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość $b\,$. Odcinek ten wystarczy odłożyć w boku wyjściowego kwadratu.

Długości początkowego odcinka $a\,$ i znalezionego $b\,$ pozostają w złotym stosunku, $\frac a b=\varphi$, wyznaczają więc złoty podział.

Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji

Znaleziony w trzecim kroku odcinek $c\,$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a\,$ i $\frac a 2$. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$c^2 = a^2 + \left( \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\;a^2$

zatem jego długość:

$c = \frac{\sqrt 5}{2}\;a.$

Odkładając odcinek $c\,$ w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek (dłuższy bok prostokąta) o długości:

$\frac{a}{2} + c$

zaś za $b\,$ przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek $a\,$ (czarny):

$b = \frac{a}{2} + c - a$

czyli:

$b = c - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}\;a.$

Stosunek długości $\frac a b$ wynosi:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt 5 - 1} = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} = \varphi$

czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.

Zobacz też

• liczby Fibonacciego
• lista stałych matematycznych
• złoty kąt
• złoty prostokąt
• złota funkcja
• kanon (sztuka)
• Section d'Or

Linki zewnętrzne

• Kalkulator złotego podziału i galeria przykładów
• "Kwadrat, koło i złota proporcja. Nowa interpretacja klasycznej konstrukcji geometrycznej". (ref. Janusz Kapusta)