Złoty system liczbowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Złoty system liczbowy – binarny, pozycyjny system liczbowy o podstawie złotej liczby \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989.

Zapis liczby w tym systemie nie jest jednoznaczny. Złota liczba spełnia równanie φ² = φ + 1, co oznacza, że podobnie jak w systemie Fibonacciego dwie jedynki na kolejnych miejscach możemy zastąpić jedynką na miejscu wcześniejszym (...011...= ...100...). Standardowo zapisuje się liczby w postaci „bez dwu kolejnych jedynek”.

Przykłady – liczby naturalne[edytuj | edytuj kod]

  • 1d = φ0 = 1z (indeks d oznacza system dziesiętny, indeks z-złoty)
  • 2d = 2z = 1,11z = 10,01z
  • 3d = 2 d+1d = 10,01z+1z = 11,01z = 100,01z
  • 4d = d+1d = 100,01z+1z = 101,01z
  • 5d =3 d+2d = 100,01z+10,01z = 110,02z = 110,0111z = 1000,1001z
  • 6d = 1010,0001z
  • 7d = 10000,0001z
  • 8d = 10001,0001z
  • 9d = 10010,0101z
  • 10d = 10100,0101z

korzystając z tego, że ...0200...z = ...1001...z znajdziemy zapis liczby 20d:

  • 20d = 2*10d = 2*10100,0101z =20200,0202z =21001,021001z = 110001,110001z = 1000010,010001z

Spostrzeżenie: we wszystkich powyższych rachunkach korzystaliśmy tylko z tego, że ciąg ...011... możemy zastąpić ciągiem ...100... taka zamiana jest możliwa też w systemie o podstawie (1-√5)/2, bo ta liczba też jest pierwiastkiem równania x2 = x+1. Oznacza to, że dowolna liczba naturalna w systemie złotym i w systemie o podstawie (1-√5)/2 ma taki sam zapis (nie tyczy to wszystkich liczb). Liczba ta jest liczbą ujemną o module mniejszym niż 1, więc „prawie cała wartość” skupi się po przecinku na pozycjach parzystych. Wynika z tego, że wszystkie liczby naturalne większe niż 1 w zapisie w złotym systemie muszą mieć cyfry na parzystych miejscach po przecinku.

Odpowiednik 0,(9) w systemie dziesiętnym[edytuj | edytuj kod]

Liczbę 1 możemy zapisać w systemie dziesiętnym jako 0,9999999(9)d. W systemie złotym zachodzą więc równości 1z = 0,11z = 0,1011z = 0,101011z = 0,101010101011z itd. Oznacza to, że liczbę 1 można zapisać jako 0,10 10 10 (10)z

Inne przykłady[edytuj | edytuj kod]

0,010 010 010 (010)z + 0,010 010 010 (010)z = 0,020 020 020 020z = 0,100 120 020 (020)z = 0,101 010 020 020 (020)z = 0,101 100 120 (020)z = 0,101 101 010 (020)z = 1

Czyli 2*0,010 010 010 (010)z = 1, a to oznacza, że 1/2 = 0,010 010 010 (010)z

Podobnie można pokazać, że:

1/3 = 0,00101000 00101000 (00101000)