Zagadka brakującego kwadratu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Missing square puzzle.svg

Zagadka brakującego kwadratuiluzja optyczna, na którą składają się dwa różne ułożenia zestawu figur geometrycznych. W pierwszym przypadku figury na pierwszy rzut oka tworzą trójkąt prostokątny o wymiarach 13 na 5 kratek. Drugi przypadek stanowi figura podobna do tej z pierwszego przypadku, różniąca się od niej wybrakowaniem w kształcie kwadratu o boku 1 kratki.

Obserwacje[edytuj | edytuj kod]

W obydwu przypadkach figury składowe nie zachodzą na siebie, a ich zestawy składają się z tych samych elementów. Suma ich pól wynosi 32 jednostki kwadratowe. W pierwszym przypadku wydaje się, że powstała figura to trójkąt prostokątny o wymiarach 13 na 5 kratek, który miałby pole 32,5 j.k  (P={a \cdot b  \over 2} = {13 \cdot 5 \over 2} = 32,5)\ ({ a,~ b } – długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego), co daje sprzeczność. W drugim zestawieniu wydaje się, że figury składowe tworzą wielobok różniący się od trójkąta powstałego w pierwszym przypadku tylko brakującym kwadratem o boku 1 kratki. Jednak wtedy pole całej figury wyniosłoby 31,5 j.k., co również stanowi sprzeczność.

Wyjaśnienie[edytuj | edytuj kod]

W rzeczywistości figura powstała w pierwszym przypadku nie jest trójkątem, lecz czworokątem. Stosunki długości przyprostokątnych obydwu trójkątów składowych są różne  {2 \over 5} = 0,4 ; {3 \over 8} = 0,375; {2 \over 5} \neq {3 \over 8} , czyli wartości tangensa kąta nachylenia przeciwprostokątnych do kierunku poziomego są w obydwu przypadkach różne. Z tego wynika, że kąty te mają różne wartości, a więc przeciwprostokątne te nie tworzą prostego odcinka lecz łamaną (punkt leżący na skraju tych obydwu przeciwprostokątnych jest jej „punktem przegięcia”). Powierzchnia między łamaną a przeciwprostokątną trójkąta 13x5 tworzy w pierwszym przypadku „wybrzuszenie” figury (stąd 0,5 j.k. powierzchni więcej niż trójkąta 13x5), a w drugim przypadku „wklęsłość” (0,5 j.k. mniej niż przy trójkącie 13x5). Powstałe figury są w obydwu przypadkach niemal identyczne z trójkątami, gdyż różnica w stosunkach długości przyprostokątnych składowych trójkątów jest niewielka  {8 \over 3} - {5 \over 2} \approx 0,16 . Stąd mylne wrażenie, że figury te są trójkątami prostokątnymi.