Zagadnienie własne dla operatora Laplace'a

Operator T odwrotny do operatora Laplace'a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

$\begin{cases} -\triangle {u(x)} = \lambda {u(x)}, &x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\\ u(x) = 0, & x\in\partial\Omega \end{cases}$

gdzie $\lambda\in\mathbb{R}$ jest wartością własną operatora Laplace'a, a funkcja $u(x) \ne 0$ funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że $u \in W_{0}^{1,2}$. Zdefiniujmy operator:

$T: L^2(\Omega) \to W_0^{1,2}(\Omega) \subseteq L^2(\Omega)$

następująco:

$T(f) = u \Leftrightarrow -\triangle u = f$

tj. u jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace'a

1. Operator T jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
2. Operator T jest zwarty.
3. Operator T jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace'a

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace'a na ograniczonym obszarze $\mathbb{U}\subseteq\mathbb{R}^n$ są dodatnie, mają skończone krotności, a $+\infty$ jest punktem skupienia wartości własnych.
2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni $L^2(\mathcal{U})$ złożona z funkcji własnych laplasjanu.