Zależności opisujące prawo Dopplera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zależności opisujące prawo Dopplera mają trzy różne postaci. Ruch obserwatora lub źródła generującego falę powoduje zmianę częstotliwości fali wtórnej widocznej dla odbiornika, co określa się jako efekt Dopplera. Da się wyodrębnić trzy różne sytuacje, w których to zjawisko ma miejsce:

  • ruch źródła względem stałego obserwatora, przy czym prędkość ruchu jest znacznie mniejsza niż prędkość rozchodzenia się fali, a prędkość źródła względem obserwatora znacznie mniejsza od prędkości światła,
  • ruch obserwatora względem stałego źródła, przy czym prędkość obserwatora jest porównywalna z prędkością fali, a prędkość źródła względem obserwatora znacznie mniejsza od prędkości światła,
  • prędkość ruchu obserwatora względem źródła zbliżona do prędkości światła, czyli przypadek relatywistyczny.

Ruch źródła względem stałego obserwatora[edytuj | edytuj kod]

Ruchome źródło i stały obserwator

Dokładny opis tego przypadku znajduje się w artykule Efekt Dopplera. Zakładamy, że fala rozchodzi się w pewnym ośrodku, względem którego obserwator się nie porusza, a źródło porusza się po linii prostej łączącej źródło i obserwatora. Prawo Dopplera w takiej sytuacji można opisać zależnością:

f = f_0 \frac {v}{v-v_{zr}} \qquad (1),

gdzie:

  • f – częstotliwość fali obserwowanej,
  • f0 – częstotliwość fali generowanej,
  • v – prędkość fali w ośrodku,
  • vzr – prędkość źródła.

W praktyce okazuje się, że ta postać prawa Dopplera daje wyniki zgodne z eksperymentem dla bardzo szerokiego zakresu sytuacji. Zarówno przy poruszającym się odbiorniku, a nie źródle jak i dla fal elektromagnetycznych poruszających się z prędkością światła oraz bez udziału medium.

Ruch obserwatora względem stałego źródła[edytuj | edytuj kod]

Ruchomy obserwator i stałe źródło

Zgodnie z zależnością:

f=\frac{v}{\lambda} \qquad (2),

gdzie: λ – długość fali,

nieporuszający się odbiornik zarejestruje f szczytów fal w jednostkowym przedziale czasu. Jednak jeżeli odbiornik zacznie poruszać się w kierunku do źródła fali, to będzie musiał pokonać o kilka szczytów fali więcej. Zwiększona liczba fal, które zarejestruje w jednostce czasu będzie opisana zależnością:

f=\frac{v_{ob}}{\lambda} \qquad (3),

gdzie: vob – prędkość obserwatora.

Z zależności (2) i (3), wynika:

f=\frac{v}{\lambda}+\frac{v_{ob}}{\lambda} \qquad (4),

lub:

f=f_0\frac{v + v_{ob}}{v} \qquad (5).

Przypadek relatywistyczny[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Relatywistyczny efekt Dopplera.
Źródło fal świetlnych porusza się do prawej z prędkością 0.7c. Częstotliwość jest wyższa po prawej i niższa po lewej.

Kiedy zaczniemy rozważać zachowanie się fal świetlnych w próżni przekonamy się, że medium służące za punkt odniesienia nie istnieje. Przypadki ruchu obserwatora i ruchu źródła staną się jednym przypadkiem ruchu obserwatora względem źródła. Zgodnie ze szczególną teorią względności prędkość rozchodzenia się fali świetlnej względem obserwatora będzie zawsze równa c. Jeżeli źródło i obserwator będą się od siebie oddalać, to mierzona częstotliwość fali świetlnej jest mniejsza od częstotliwości fali wysyłanej i będzie opisana zależnością:

f=f_0\frac{1-\frac{v_{obzr}}{c}}{\sqrt{1-\frac{v_{obzr}^2}{c^2}}} \qquad (6),

gdzie:

  • vobzr – prędkość względna źródła i obserwatora,
  • c – prędkość światła.

Gdy poruszające ciało będzie się przybliżało do obserwatora, w powyższym wzorze należy wstawić prędkość ciała ze znakiem minus, czego konsekwencją jest odbieranie przez obserwatora fali o częstotliwości większej niż wysyłana.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Efekt Dopplera dla źródła i odbiorcy poruszających się wzdłuż jednej linii prostej, przy prędkościach znacznie mniejszych niż prędkość światła, można opisać jednym wzorem:

f=f_0\frac{v \pm  v_{o}}{v \mp  v_{z}}
f=f_0\frac{v \pm  v_{o}}{v \mp  v_{z}}

Dla prędkości źródła i obserwatora znacznie mniejszej od prędkości fali w ośrodku wzór można przybliżyć do:

f=f_0\frac{v \pm  v_o \pm v_z}{v}

Gdzie:

  • f – częstotliwość odbierana
  • f_0 – częstotliwość emitowana
  • v – prędkość rozchodzenia się dźwięku w ośrodku
  • v_o – prędkość odbiornika/odbiorcy
  • v_z – prędkość nadajnika/nadawcy

przy czym górne/dolne znaki odnoszą się do sytuacji kiedy ciała się zbliżają/oddalają.

Uogólniając opis na różne kierunku ruchu:

f=f_0\frac{v +  v_{o} \cos(\phi_{o})}{v -  v_{z}\cos(\phi_{z})}

Przy czym wymienione kąty są zawarte między odcinkiem łączącym źródło z nadajnikiem a wektorem prędkości źródła lub nadajnika.

W astronomii znane jest zjawisko "poczerwienienia galaktyk", tj. przesunięcia ku czerwieni (ang. redshift) widma światła z odległych źródeł. Popularnie przytacza się je jako dowód na rozszerzanie się Wszechświata, tłumacząc zjawiskiem Dopplera dla oddalającego się źródła. Wśród kosmologów istnieje jednak pogląd, że przesunięcie to nie jest opisywane przez prawo Dopplera, ani nawet jego relatywistyczną wersję. Ucieczka galaktyk nie polega bowiem na podróży źródła światła przez przestrzeń, lecz na rozciągnięciu fal świetlnych wraz z ekspandującą przestrzenią. Opisujące to zjawisko równania zależą od wybranego modelu kosmologicznego. Według obecnie obowiązującej wersji kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni rośnie do nieskończoności dla odległości około 46 mld lat świetlnych i prędkości ucieczki zbliżonej do trzech prędkości światła w próżni.