Zasada Cavalieriego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Caval1.jpg
Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Zasada Cavalieriego[1] – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue'a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech N, N_1, N_2 będą takimi liczbami naturalnymi, że N=N_1+N_2. Wówczas można dokonać utożsamienia:

\mathbb{R}^N=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}.

Niech A\subseteq \mathbb{R}^N,\, x_1\in \mathbb{R}^{N_1},\, x_2\in \mathbb{R}^{N_2} oraz x=(x_1, x_2) oznacza element przestrzeni \mathbb{R}^N. Zbiory

  • A_{x_1}=\{x_2\in \mathbb{R}^{N_2}\colon\, (x_1,x_2)\in A\},
  • A^{x_2}=\{x_1\in \mathbb{R}^{N_1}\colon\, (x_1,x_2)\in A\}

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu x_1) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu x_2) zbioru A.

Niech ponadto

  • \pi_1(A)=\{x_1\in \mathbb{R}^{N_1}\colon\, (\exists x_2\in \mathbb{R}^{N_2})(x_1, x_2)\in A\},
  • \pi_2(A)=\{x_2\in \mathbb{R}^{N_2}\colon\, (\exists x_1\in \mathbb{R}^{N_1})(x_1, x_2)\in A\}.

tzn. \pi_1(A), \pi_2(A)rzutowaniami zbioru A na przestrzenie, odpowiednio, \mathbb{R}^{N_1} i \mathbb{R}^{N_2}. Symbolami \mathcal{L}_{N}, \mathcal{L}_{N_1}, \mathcal{L}_{N_2} oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a względem, odpowiednio, N-, N_1- i N_2-wymiarowej miary Lebesgue'a l_N, l_{N_1}, l_{N_2}.

Zasada Cavalieriego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli A\in \mathcal{L}_{N}, to

Jeżeli ponadto, \pi_1(A)\in \mathcal{L}_{N_1}, to

l_N(A)=\int\limits_{\pi_1(A)}l_{N_2}(A_{x_1})dl_{N_1}(x_1).

Komentarze[edytuj | edytuj kod]

  • Cięcia A_{x_1}, A^{x_2} są mierzalne dla prawie wszystkich x_1\in \mathbb{R}^{N_1}, x_2\in \mathbb{R}^{N_2}. Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe \mathcal{L}_{N_1}\otimes \mathcal{L}_{N_2} jest zawarte w sposób właściwy w \mathcal{L}_N, tzn. istnieją takie zbiory postaci A\times B \in \mathcal{L}_N, gdzie A\subseteq \mathbb{R}^{N_1}, B\subseteq \mathbb{R}^{N_2}, że zbiór A lub zbiór B nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.
  • Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego - z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. odmieniamy Cavalier i ego, patrz Słownik Ortograficzny PWN.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.