Zasada Cavalieriego

Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Z zasady Cavalieriego wynika, że obydwa stosy monet powyżej mają te same objętości.

Zasada Cavalieriego – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue'a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje

Niech $N, N_1, N_2$ będą takimi liczbami naturalnymi, że $N=N_1+N_2$. Wówczas można dokonać utożsamienia:

$\mathbb{R}^N=\mathbb{R}^{N_1}\times \mathbb{R}^{N_2}$.

Niech $A\subseteq \mathbb{R}^N,\, x_1\in \mathbb{R}^{N_1},\, x_2\in \mathbb{R}^{N_2}$ oraz $x=(x_1, x_2)$ oznacza element przestrzeni $\mathbb{R}^N$. Zbiory

• $A_{x_1}=\{x_2\in \mathbb{R}^{N_2}\colon\, (x_1,x_2)\in A\}$,
• $A^{x_2}=\{x_1\in \mathbb{R}^{N_1}\colon\, (x_1,x_2)\in A\}$

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu $x_1)$ i cięciem dolnym (wzdłuż punktu $x_2$) zbioru $A$.

Niech ponadto

• $\pi_1(A)=\{x_1\in \mathbb{R}^{N_1}\colon\, (\exists x_2\in \mathbb{R}^{N_2})(x_1, x_2)\in A\}$,
• $\pi_2(A)=\{x_2\in \mathbb{R}^{N_2}\colon\, (\exists x_1\in \mathbb{R}^{N_1})(x_1, x_2)\in A\}$.

tzn. $\pi_1(A), \pi_2(A)$ są rzutowaniami zbioru $A$ na przestrzenie, odpowiednio, $\mathbb{R}^{N_1}$ i $\mathbb{R}^{N_2}$. Symbolami $\mathcal{L}_{N}, \mathcal{L}_{N_1}, \mathcal{L}_{N_2}$ oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a względem, odpowiednio, $N$-, $N_1$- i $N_2$-wymiarowej miary Lebesgue'a $l_N, l_{N_1}, l_{N_2}$.

Zasada Cavalieriego

Jeśli $A\in \mathcal{L}_{N}$, to

• dla prawie wszystkich $x_1\in\mathbb{R}^{N_1}$ zbiór $A_{x_1}$ jest mierzalny w sensie $N_2$-wymiarowej miary Lebesgue'a,
• funkcja $x_1 \mapsto l_{2}(A_{x_1})$ jest mierzalna
• $l_N(A)=\int\limits_{\mathbb{R}^{N_1}}l_{N_2} (A_{x_1}) dl_{N_1}(x_1)$

Jeżeli ponadto, $\pi_1(A)\in \mathcal{L}_{N_1}$, to

$l_N(A)=\int\limits_{\pi_1(A)}l_{N_2}(A_{x_1})dl_{N_1}(x_1)$.

Komentarze

• Cięcia $A_{x_1}, A^{x_2}$ są mierzalne dla prawie wszystkich $x_1\in \mathbb{R}^{N_1}, x_2\in \mathbb{R}^{N_2}$. Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe $\mathcal{L}_{N_1}\otimes \mathcal{L}_{N_2}$ jest zawarte w sposób właściwy w $\mathcal{L}_N$, tzn. istnieją takie zbiory postaci $A\times B \in \mathcal{L}_N$, gdzie $A\subseteq \mathbb{R}^{N_1}, B\subseteq \mathbb{R}^{N_2}$, że zbiór $A$ lub zbiór $B$ nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.

• Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego - z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też

• twierdzenie Guldina
• twierdzenie Fubiniego

Bibliografia

1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
2. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.