Zasada d’Alemberta

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Zasada d'Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d'Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange'a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d'Alemberta dla układu n punktów materialnych

Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna jest równa zeru

Zasadę tę można zapisać wzorami

$\delta W=0\,$

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F_{i}}+\overrightarrow{F}_{bi} \right)} \overrightarrow{{\delta r}}_{i}=0$

gdzie

$\overrightarrow{F_{i}}$ – siła działająca na i-ty element układu,

$\overrightarrow{F_{bi}}= -m_{i} \vec {a} _{i}$ – siła bezwładności działająca na i-ty element układu o masie m_i,

$a_{i}$ – przyspieszenie i-tego elementu układu,

$\delta r_{i}$ – przesunięcie wirtualne i-tego elementu układu.

Sformułowana przez d'Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange'a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez m równań

$f_{j}\left( x,y,z,t \right)=0$

gdzie $j=1,2,...,m$. Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\delta x_{i}+\frac{\partial f_{j}}{\partial y_{i}}\delta y_{i}+\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{i}}\delta z_{i} \right)}=0$

Zasada d'Alemberta może zostać uogólniona do układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

$\overrightarrow{F}_{wi}=\vec{a}_{i}m_{i}$

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów F_Ri i pozostałe działające siły F_i, wówczas

$\overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}=\vec{a}_{i}m_{i}$

stąd

$\overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i}=0$

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d'Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów a określonej w przestrzeni stanów, równa będzie

$\begin{align} & \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0 \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{\overrightarrow{F}_{Ri}\delta \vec{r}_{i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0 \\ \end{align}$

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\overrightarrow{F}_{Ri}\delta \vec{r}_{i}}=0$

stąd wynika

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0$

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d'Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Literatura

1. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski Mechanika Teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, bez ISBN
2. Szczepan Szczeniowski Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa (1980)