Zasada włączeń i wyłączeń

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.

permutacja kombinacja bez powtórzeń kombinacja z powtórzeniami wariacja bez powtórzeń wariacja z powtórzeniami liczby Bella liczby Catalana liczby Stirlinga liczby Eulera zasada szufladkowa Dirichleta zasada włączeń i wyłączeń

Zasada właczeń i wyłączeń, pokazana dla trzech zbiorów

Zasada włączeń i wyłączeń - reguła kombinatoryczna, pozwalająca na określenie liczby elementów skończonej sumy mnogościowej skończonych zbiorów. Autorstwo zasady przypisywane jest zazwyczaj Abrahamowi de Moivre, chociaż bywa nazywana od nazwisk matematyków, Jamesa Josepha Sylvestera oraz Henriego Poincaré.

Twierdzenie

Niech $A_1, A_2 \dots A_n$ będą dowolnymi zbiorami zaś $i, j, k \in \{1, \ldots, n\}$. Wówczas

$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j:\,i<j}\left|A_i\cap A_j\right| +$

$+ \sum_{i,j,k:\,i<j<k}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \dots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$,

gdzie $\left|A_k\right|$ oznacza moc zbioru $A_k \,$

Przykład

Dla trzech zbiorów skończonych $A_1, A_2, A_3$ liczba elementów ich sumy wyraża się wzorem:

$\left|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = \left|A_1 \right| + \left|A_2\right| + \left|A_3 \right| - \left|A_1 \cap A_2 \right| - \left|A_1 \cap A_3 \right| -\left| A_2 \cap A_3 \right| + \left|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right|$

Wzór zapewnia, że elementy znajdujące się jednocześnie w kilku spośród zbiorów $A_1, A_2, \dots, A_n$ liczone są dokładnie raz.

Dowód

Niech element $a$ należy dokładnie do $m$ spośród zbiorów $A_1, A_2 \dots A_n$. W sumie mnogościowej $\bigcup_{i=1}^n A_i$ jest on liczony jeden raz. W wyrażeniu

$\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j:\,i < j}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k:\,i<j<k}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \dots$

$\ \dots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

liczba zliczeń pojedynczego elementu jest równa:

$m - {m \choose 2} + {m \choose 3} + \dots + (-1)^m {m \choose {m-1}} + (-1)^{m+1} 1 =$

$= 1 - {m \choose 0} + {m \choose 1} + \dots + (-1)^m {m \choose {m-1}} + (-1)^{m+1} {m \choose m}$,

bowiem występuje on w $m$ zbiorach spośród $A_1, A_2 \dots A_n$, ${m \choose 2}$ zbiorach spośród $A_i\cap A_j, 1 \le i < j \le n$ itd.

Na mocy rozwinięcia Newtona wyrażenie to jest równe $1 - (1-1)^m = 1-0 = 1$, co dowodzi poprawności zasady włączeń i wyłączeń, bowiem element został policzony jeden raz.