Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w fizyce. Treść zasady:

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

co można zapisać wzorem

$\vec{L}=\operatorname{const}$

lub

$\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=0$

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M

$\frac{\operatorname{d}\vec{L}}{\operatorname{d}t}=M$

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

$\vec{L}=I\vec{\omega }$

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω rośnie, gdy maleje moment bezwładności I.

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu N cząstek można zapisać

$\vec{L} = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times (m_i \dot{\vec{r_i}})$

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie otrzymujemy

$\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \dot{\vec{r_i}} \times (m_i \dot{\vec{r_i}}) + \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times (m_i \ddot{\vec{r_i}})$

Ponieważ iloczyn wektorowy $\dot{\vec{r_i}} \times \dot{\vec{r_i}}=0$ oraz $m_i \ddot{\vec{r_i}} = \vec {F_i}$, to pozostaje tylko obliczyć iloczyn $\vec{r_i} \times \vec{F_i}$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony $\vec{F}_{ij}$) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

$\sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times \vec {F_i} = \sum _{i=1} ^{N} ( \vec{r_i} \times ( \sum _{i \neq j} ^{N} \vec{F_{ij}} + \vec{F_i}' ) ) = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r} _i \times \vec{F} _i '$

Ponieważ

$\vec{F_{ij}} = -\vec{F_{ji}}$

to

$\vec{r_i} \times \vec{F_{ij}} = -\vec{r_j} \times \vec{F_{ji}}$

a dla każdej siły

$\vec{F_{ij}}$

występuje siła

$\vec{F_{ji}}$

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

$\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \vec{r_i} \times \vec{F_i}'$

Jeżeli układ jest odosobniony, to

$\vec{F} _i ' = 0$

czyli

$\vec{L}=\text{const}$