Zawieszenie (topologia)

Topologia

Zawieszenie okręgu (niebieskiego)

Zawieszeniem SX przestrzeni topologicznej X jest przestrzeń ilorazowa powstała przez podzielenie iloczynu $X \times I\;$ tej przestrzeni przez przedział jednostkowy $I = [0; 1]\;$ przez relację równoważności $\sim\;$:

$X \times I / \sim\;$,

która ściąga punkty każdej z "podstaw" $X \times \{0\}$ i $X \times \{1\}$ do punktu, czyli dla $(x, t), (x', t') \in X \times I$

$(x, t) \sim (x', t') \Leftrightarrow (x, t) = (x', t')\, \vee\,t = t' = 0 \vee t = t' = 1\;$

Nieco mniej formalnie można to zapisać następująco:

$SX = (X \times I)/\{(x_1,0)\sim(x_2,0)\mbox{ i }(x_1,1)\sim(x_2,1) \mbox{ dla dowolnych } x_1,x_2 \in X\}$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu $K \times I$poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: $(x,0) \sim (x', 0)\,$ i $(x,1) \sim (x', 1)\,$ dla dowolnych $x, x' \in X\;$.

Kompleksy łańcuchowe

Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f_\bullet: K_\bullet \rightarrow L_\bullet$nazywamy kompleks łańcuchowy $Cf_\bullet$, w którym:

$(Cf)_n = L_n \oplus K_{n - 1}$

$\partial^{Cf}(y, x) = (\partial^{L}y + fx, -\partial^{K}x)$, gdzie $(y, x) \in Cf$

Jeśli $L_\bullet = 0$, to kompleks $Cf_\bullet\;$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez $K^{+}_\bullet$. W kompleksie tym:

$(K^{+})_n = K_{n - 1}\;$

$\partial^{K^{+}} = - \partial^K$

Zobacz też

• Stożek (topologia)

Bibliografia

1. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Presses, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
2. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.