Zbiór

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy pojęcie w matematyce. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – kolekcja niepowtarzających się elementów. Pojęcie to jest jednym z najbardziej fundamentalnych pojęć matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) jest ono postrzegane jako pojęcie pierwotne.

[edytuj] Opis

Wprowadzenie pojęcia zbioru automatycznie zakłada istnienie relacji przynależności $\in$ , która wskazuje czy dany element należy do zbioru, czy nie. Zwyczajowo zbiory oznacza się wielkimi literami, a ich elementy – małymi. Tak więc zdania $a\;$ jest elementem zbioru $A\;$ lub element $a\;$ należy do $A\;$ zapisuje się krótko $a \in A\;$ lub $A \ni a\;$ .

Podanie wszystkich elementów zbioru określa go jednoznacznie: zbiór zawierający element $a$ oznacza się symbolem ${a}$ ; należy wyraźnie odróżnić go od elementu $a$ . Elementami zbiorów mogą być inne zbiory, np. ${a,{b}}$ to zbiór złożony z elementu $a$ i zbioru jednoelementowego $b$ . Znowu należy zwrócić uwagę, że jest to zbiór różny od np. ${a, b}$ , czyli zbioru składającego się z dwóch elementów: $a, b$ , oraz zbioru ${{a, b}}$ , który składa się z jednego elementu – dwuelementowego zbioru, do którego należą elementy $a, b$ . Wzór ${a,{b}}$ opisuje ten sam zbiór, co wzór ${{b}, a}$ , gdyż kolejność elementów w zbiorze nie jest istotna. Z tego powodu zbiór dwuelementowy nazywa się czasami parą nieuporządkowaną (w przeciwieństwie do tzw. pary uporządkowanej). Jeżeli wszystkie elementy danego zbioru same są zbiorami, to taki zbiór zbiorów zwykło nazywać się rodziną zbiorów.

Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywa się zbiorem pustym. Istnieje tylko jeden taki zbiór (gdyż wskazano wszystkie jego elementy) i oznacza się go symbolami ${}$ , $\emptyset$ lub $\varnothing$ .

Jeżeli liczba elementów zbioru jest znaczna (skończona, a nawet nieskończona) przez co ich wskazanie mogłoby być kłopotliwe, to korzysta się z symbolu wielokropka. Notacja ta zakłada pewną domyślność czytającego: łatwo domyślić się, że wzór $\{1, 3, 5, 7, \dots, 55\}$ może oznaczać wszystkie nieparzyste liczby naturalne od $1$ do $55$ , jednak wskazanie co przedstawia wzór $\{3, 13, 18, 21, \dots, 78\}$ może być problematyczne.

Innym sposobem określenia zbioru jest podanie własności charakteryzującej jego elementy. Symbol ${F (x)}$ oznacza zbiór elementów, które spełniają formułę $F (x)$ . Zauważono jednak, iż definiowanie zbiorów w ten sposób może prowadzić do paradoksów (zob. antynomia Russela), aby ich uniknąć zalecono wskazanie zbioru, z którego pochodzą elementy przykładane do formuły $F (x)$ . W ten sposób wskazuje się zbiór złożony z elementów innego zbioru, który nazywa się w tym kontekście jego podzbiorem. Zbiór $\{x \in A: F(x)\}$ oznacza zbiór złożony z takich elementów $x\;$ zbioru $A\;$ , które mają własność $F(x)\;$ . Jest to podzbiór zbioru $A$ .

W ten sposób obserwację poczynioną w drugim akapicie można wyjaśnić następująco: w przeciwieństwie do relacji zawierania się części w całości relacja przynależności elementu do zbioru nie jest przechodnia. Przykładowo koła stanowią wprawdzie część każdego samochodu, ale nie są elementami zbioru samochodów jako takich.

Zbiór zawierający skończenie wiele elementów nazywa się zbiorem skończonym; zbiory, które nie są skończone nazywa się nieskończonymi. Moc zbioru $X$ , która dla zbioru skończonego równoważna jest liczbie jego elementów, oznacza się jednym z symboli $| X |$ , $\overline{\overline{X}}$ lub $\sharp X$ .

[edytuj] Działania na zbiorach

Działania, które możemy wykonać na zbiorach:

suma zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów należących do zbioru $A\;$ lub do zbioru $B\;$
przekrój (iloczyn, przecięcie, część wspólna) zbiorów – zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A\;$ i do zbioru $B\;$
różnica zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów, które należą do zbioru $A\;$ , lecz nie należą do zbioru $B\;$
różnica symetryczna zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów, które należą do zbioru $A\;$ albo do zbioru $B\;$ (lecz nie należą do obydwu naraz)
iloczyn kartezjański zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór wszystkich takich par, których pierwszy element należy do zbioru $A\;$ , zaś drugi do $B\;$
suma rozłączna
zbiór potęgowy zbioru $X\;$ – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $X\;$
dopełnienie zbioru – zbiór tych elementów przestrzeni (definicja przestrzeni wynika każdorazowo z kontekstu, np. jeśli zbiorem jest figura płaska, przestrzenią będzie na ogół płaszczyzna), które nie należą do zbioru $X\;$

zbiory w topologii:

[edytuj] Uogólnienia

W matematyce rozpatruje się uogólnienia pojęcia zbioru; można zaliczyć do nich:

klasy,
multizbiory, które mogą zawierać jeden element wiele razy;
zbiory rozmyte (ang. fuzzy sets), do których elementy mogą należeć "tylko w części" (klasyczny zbiór jest jednoznaczny: albo dany element do niego należy, albo nie). Pojęcie to okazało się bardzo użyteczne w automatyce. Z punktu widzenia matematyki zbiór rozmyty nie jest jednak zbiorem, lecz funkcją, która elementom jakiegoś klasycznego zbioru przyporządkowuje liczby rzeczywiste z przedziału $[0,1]\;$ .
zbiory przybliżone (ang. rough sets), implementujące trójstanową logikę w zakresie zbiorów. Zbiór przybliżony można rozumieć jako parę zwykłych zbiorów, której elementy oznaczają dolne i górne oszacowanie. Dany element albo jest w obydwu zbiorach, albo w żadnym, albo tylko w górnym. Ten ostatni przypadek można zastosować do modelowania niepewności.