Zbiór

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia pierwotnego matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór[1]pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości[1]; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe nazywane jego elementami (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru np. „dwukrotnie”). Pojęcie zbioru ma charakter dystrybutywny, a nie kolektywny: Mars jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego, lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); nadwozie jest elementem zbioru części samochodu, przy czym wycieraczka jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

W tzw. naiwnej (tj. niezaksjomatyzowanej) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją \scriptstyle \in należenia lub przynależności do zbioru[2] oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego \scriptstyle \epsilon (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego, \scriptstyle \varepsilon); przykładowo należenie elementu \scriptstyle a do zbioru \scriptstyle A zapisuje się zwykle \scriptstyle a \in A, zaś zaprzeczenie tego zdania („element \scriptstyle a nie należy do zbioru \scriptstyle A”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia: \scriptstyle a \notin A[3].

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w nawiasach klamrowych; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów \scriptstyle \bigstar, 3, \spadesuit, \P zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci

\{\bigstar, 3, \spadesuit, \P\};

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy \scriptstyle \{3, \bigstar, \spadesuit, \P\}, czy \scriptstyle \{\P, \bigstar, 3, \spadesuit\} (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź \scriptstyle \{\bigstar, \P, 3, \bigstar, \spadesuit, \spadesuit\} (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. zbiór pusty \scriptstyle \{\} oznaczany zwykle symbolem \scriptstyle \varnothing. Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle rodzinami (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór \scriptstyle \varnothing nie ma elementów, podczas gdy do zbioru \scriptstyle \{\varnothing\} należy jeden element: zbiór pusty \scriptstyle \varnothing (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich mocą – moc zbioru \scriptstyle A oznaczana będzie dalej symbolem \scriptstyle \#A – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. skala alefów, czy skala betów). Najprostszy podział przebiega ze względu na możliwość wymienienia wszystkich elementów: w skończonym (choć być może bardzo długim) czasie – zbiory skończone, w przeciwnym przypadku nazywa się je nieskończonymi; w nieskończonym czasie – zbiory przeliczalne, w przypadku braku takiej możliwości mówi się o zbiorach nieprzeliczalnych.

Określanie[edytuj | edytuj kod]

Wyszczególnienie wszystkich elementów danego zbioru może być co najmniej nużące (gdy zbiór jest skończony), a niekiedy nawet niemożliwe (gdy zbiór jest nieskończony). Jednym ze sposobów skrócenia tego zapisu jest wykorzystanie notacji wielokropkowej, która zakłada pewną domyślność czytelnika; przykładowo zbiór zawierający wszystkie nieparzyste liczby naturalne większe od \scriptstyle 2, lecz mniejsze od \scriptstyle 84, można wskazać zapisując

\{3, 5, 7, \dots, 81, 83\}.

Należy jednak uważać, by zapis był dostatecznie jednoznaczny, np. \{3, 5, 7, \dots, 83\} może oznaczać także zbiór liczb pierwszych ze wspomnianego przedziału, z kolei \{3, \dots, 83\} może oznaczać wszystkie liczby naturalne z podanego zakresu.

Innym sposobem jest użycie formuły logicznej (warunku logicznego), jeśli \scriptstyle W(x) jest zdaniem logicznym o elemencie \scriptstyle x zbioru \scriptstyle X, to zapis

\bigl\{x \in X\colon W(x)\bigr\}

oznacza zbiór wszystkich elementów \scriptstyle x \in X, które spełniają warunek \scriptstyle W(x).

W początkach teorii mnogości stosowano notację \{\scriptstyle x\colon W(x)\displaystyle\}, tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, czy antynomia Russella. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych aksjomatyzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest aksjomatyka Zermelo-Fraenkela (w jednym ze swych wariantów)[4].

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą dowolne trzy podzbiory \scriptstyle A, B oraz \scriptstyle C zbioru \scriptstyle \Omega nazywanego przestrzenią lub uniwersum.

Definicje
  • Sumą \scriptstyle A \cup \scriptstyle B nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów \scriptstyle A lub \scriptstyle B,
    A \cup B = \{x \in \Omega\colon x \in A \or x \in B\}.
  • Iloczynem \scriptstyle A \cap \scriptstyle B nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów \scriptstyle A oraz \scriptstyle B,
    A \cap B = \{x \in \Omega\colon x \in A \and x \in B\}.
  • Różnicą \scriptstyle A \setminus \scriptstyle B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru \scriptstyle A, ale nie należą do zbioru \scriptstyle B,
    A \setminus B = \{x \in \Omega\colon x \in A \and x \notin B\} = A \cap B^\mathrm c.
  • Dopełnieniem \scriptstyle B^\mathrm c nazywa się zbiór tych elementów, które nie należą do zbioru \scriptstyle B,
    B^\mathrm c = \{x \in \Omega\colon x \not \in B\} = \Omega \setminus B.
  • Różnicą symetryczną \scriptstyle A \triangle \scriptstyle B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów \scriptstyle A oraz \scriptstyle B,
    A \triangle B = \{x \in \Omega\colon x \in A\ \underline\or\ x \in B\} = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).
Własności
Przykłady

Niech \scriptstyle A = \{1, 2, 3, 5\} oraz \scriptstyle B = \{1, 3, 4\}, a ponadto \scriptstyle \Omega = \{1, 2, 3, \dots\}. Wówczas

A \cup B = B \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5\},
A \cap B = B \cap A = \{1, 3\},
A \setminus B = \{2, 5\} \text{ oraz } B \setminus A = \{4\},
A^\mathrm c = \{4, 6, 7, 8, \dots\} \text{ oraz } B^\mathrm c = \{2, 5, 6, 7, \dots\},
A \triangle B = B \triangle A = \{2, 4, 5\}.
Uwagi

Działania na zbiorach nazywa się często „mnogościowymi” dla odróżnienia od innych działań, np. algebraicznych: „suma mnogościowa”, „iloczyn mnogościowy”, „różnica mnogościowa” (lub nawet „suma, iloczyn, różnica zbiorów”). Działanie dodawania nazywa się niekiedy „unią”, z kolei różnicę nazywa się czasem „dopełnieniem względnym” (względem innego zbioru); alternatywne nazwy „przekrój”, czy „przecięcie” dla iloczynu są spotykane dużo częściej.

Wraz z osobnymi nazwami działania te mają unikatową symbolikę, choć niekiedy różnicę zbiorów oznacza się znakiem odejmowania[5], zaś dopełnienie oznacza się często apostrofem[6], działanie różnicy symetrycznej wydaje się mieć najmniej ustaloną symbolikę: czasami stosuje się symbol dodawania w okręgu[7]; odpowiednio \scriptstyle A - B,\ A',\ A \oplus B.

Nazwy i symbole działań na zbiorach odwołujące się do intuicji algebraicznych nie są przypadkowe: niektóre z przedstawionych działań umożliwiają wprowadzenie na podzbiorach danego zbioru różnych struktur algebraicznych (np. ciało zbiorów, pierścień zbiorów itp.), w ogólności wszystkie tworzą one tzw. algebrę Boole'a.

W przypadku działań sumy i iloczynu rozpatruje się również operacje skończone (zdefiniowane indukcyjnie) i nieskończone (zdefiniowane za pomocą kwantyfikatorów, czyli logiki pierwszego rzędu; nazywane też uogólnionymi). Sumę rodziny zbiorów definiuje się jako zbiór tych elementów, dla których istnieje (choć jeden) sumowany zbiór, do którego należą, z kolei iloczyn rodziny zbiorów zawiera wyłącznie te elementy, które należą do wszystkich zbiorów będących czynnikami.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów \scriptstyle a, b, nazywany parą (nieuporządkowaną), nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj. \scriptstyle \{a, b\} = \{b, a\}; istnieje jednak obiekt nazywany parą uporządkowaną, który ją niesie, tj. \scriptstyle (a, b) \ne (b, a) – w teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy:

(a, b) = \{\scriptstyle\{a\}\displaystyle , \scriptstyle\{a, b\}\displaystyle\}.

Iloczynem kartezjańskim \scriptstyle A \times B zbiorów \scriptstyle A, B nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru \scriptstyle A, a drugi do zbioru \scriptstyle B; ze względu na uporządkowanie par jest \scriptstyle A \times B \ne B \times A, o ile czynniki są różne.

Zbiór potęgowy \scriptstyle \mathcal P(A) zbioru \scriptstyle A to rodzina (zbiór zawierający) wszystkie podzbiory zbioru \scriptstyle A; zachodzi \scriptstyle \#\mathcal P(A) = 2^{\#A}.

Istnieje wiele uogólnień pojęcia zbioru, wśród nich są m.in.:

  • klasa – skupisko elementów dzielących wspólną właściwość;
  • multizbiór – zbiór, w którym dany element może występować wielokrotnie;
  • n-tka – multizbiór, z określoną kolejnością elementów;
  • zbiór rozmyty – zbiór, do którego elementy należą w pewnym stopniu z przedziału [0, 1], gdzie 0 oznacza pełną nieprzynależność a 1 pełną przynależność do zbioru, dopuszczalna jest tu zatem częściowa przynależność elementu do zbioru rozmytego ;
  • zbiór przybliżony – zbiór odzwierciedlający logikę trójwartościową.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło zbiór w Wikisłowniku

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Czasem „zbiór” nazywa się jeszcze „mnogością”, stąd też pochodzi nazwa „teoria mnogości” oznaczająca po prostu „teorię zbiorów”.
  2. Formalnie niekiedy określanej w klasie wszystkich zbiorów, zob. paradoks zbioru wszystkich zbiorów.
  3. Czasem korzysta się z zapisu odwróconego, odpowiednio: \scriptstyle A \ni a oraz \scriptstyle A \not\ni a.
  4. Innymi są np. kanoniczna teoria mnogości Zermelo, czy mniej standardowa teoria mnogości Kripkego-Platka.
  5. Choć może to prowadzić do pomyłki z działaniem wzięcia zbioru elementów przeciwnych dla zbioru, w którym określono pewną strukturę algebraiczną.
  6. Może to prowadzić do konfliktu z działaniami z innych działów matematyki; istnieją również inne sposoby zapisu tego działania, np. \scriptstyle \complement A; w tej notacji \scriptstyle \complement_B A oznacza \scriptstyle B \setminus A.
  7. W algebrze symbolem tym zapisuje się działanie sumy prostej.