Zbiór

Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Wprowadzenie

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe nazywane jego elementami (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru np. „dwukrotnie”). Pojęcie zbioru ma charakter dystrybutywny, a nie kolektywny: Mars jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego, lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); nadwozie jest elementem zbioru części samochodu, przy czym wycieraczka jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

W tzw. naiwnej (tj. niezaksjomatyzowanej) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją $\scriptstyle \in$ należenia lub przynależności do zbioru oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego $\scriptstyle \epsilon$ (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego, $\scriptstyle \varepsilon$); przykładowo należenie elementu $\scriptstyle a$ do zbioru $\scriptstyle A$ zapisuje się zwykle $\scriptstyle a \in A,$ zaś zaprzeczenie tego zdania („element $\scriptstyle a$ nie należy do zbioru $\scriptstyle A$”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia: $\scriptstyle a \notin A$.

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w nawiasach klamrowych; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów $\scriptstyle \bigstar, 3, \spadesuit, \P$ zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci

$\{\bigstar, 3, \spadesuit, \P\};$

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy $\scriptstyle \{3, \bigstar, \spadesuit, \P\},$ czy $\scriptstyle \{\P, \bigstar, 3, \spadesuit\}$ (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź $\scriptstyle \{\bigstar, \P, 3, \bigstar, \spadesuit, \spadesuit\}$ (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. zbiór pusty $\scriptstyle \{\}$ oznaczany zwykle symbolem $\scriptstyle \varnothing.$ Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle rodzinami (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór $\scriptstyle \varnothing$ nie ma elementów, podczas gdy do zbioru $\scriptstyle \{\varnothing\}$ należy jeden element: zbiór pusty $\scriptstyle \varnothing$ (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich mocą – moc zbioru $\scriptstyle A$ oznaczana będzie dalej symbolem $\scriptstyle \#A$ – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. skala alefów, czy skala betów). Najprostszy podział przebiega ze względu na możliwość wymienienia wszystkich elementów: w skończonym (choć być może bardzo długim) czasie – zbiory skończone, w przeciwnym przypadku nazywa się je nieskończonymi; w nieskończonym czasie – zbiory przeliczalne, w przypadku braku takiej możliwości mówi się o zbiorach nieprzeliczalnych.

Określanie

Wyszczególnienie wszystkich elementów danego zbioru może być co najmniej nużące (gdy zbiór jest skończony), a niekiedy nawet niemożliwe (gdy zbiór jest nieskończony). Jednym ze sposobów skrócenia tego zapisu jest wykorzystanie notacji wielokropkowej, która zakłada pewną domyślność czytelnika; przykładowo zbiór zawierający wszystkie nieparzyste liczby naturalne większe od $\scriptstyle 2,$ lecz mniejsze od $\scriptstyle 84,$ można wskazać zapisując

$\{3, 5, 7, \dots, 81, 83\}.$

Należy jednak uważać, by zapis był dostatecznie jednoznaczny, np. $\{3, 5, 7, \dots, 83\}$ może oznaczać także zbiór liczb pierwszych ze wspomnianego przedziału, z kolei $\{3, \dots, 83\}$ może oznaczać wszystkie liczby naturalne z podanego zakresu.

Innym sposobem jest użycie formuły logicznej (warunku logicznego), jeśli $\scriptstyle W(x)$ jest zdaniem logicznym o elemencie $\scriptstyle x$ zbioru $\scriptstyle X,$ to zapis

$\bigl\{x \in X\colon W(x)\bigr\}$

oznacza zbiór wszystkich elementów $\scriptstyle x \in X,$ które spełniają warunek $\scriptstyle W(x).$

W początkach teorii mnogości stosowano notację $\{\scriptstyle x\colon W(x)\displaystyle\},$ tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, czy antynomia Russella. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych aksjomatyzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest aksjomatyka Zermelo-Fraenkela (w jednym ze swych wariantów).

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Działania

• 

  Suma $\scriptstyle A \cup B$ oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.

• 

  Iloczyn $\scriptstyle A \cap B$ oznaczony kolorem ciemnoniebieskim.

• 

  Różnica $\scriptstyle B \setminus A$ oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.

• 

  Różnica symetryczna $\scriptstyle A \triangle B$ oznaczona kolorem ciemnoniebieskim.

Niech dane będą dowolne trzy podzbiory $\scriptstyle A, B$ oraz $\scriptstyle C$ zbioru $\scriptstyle \Omega$ nazywanego przestrzenią lub uniwersum.

Definicje

• Sumą $\scriptstyle A \cup \scriptstyle B$ nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów $\scriptstyle A$ lub $\scriptstyle B,$

  $A \cup B = \{x \in \Omega\colon x \in A \or x \in B\}.$

• Iloczynem $\scriptstyle A \cap \scriptstyle B$ nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów $\scriptstyle A$ oraz $\scriptstyle B,$

  $A \cap B = \{x \in \Omega\colon x \in A \and x \in B\}.$

• Różnicą $\scriptstyle A \setminus \scriptstyle B$ nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru $\scriptstyle A,$ ale nie należą do zbioru $\scriptstyle B,$

  $A \setminus B = \{x \in \Omega\colon x \in A \and x \notin B\} = A \cap B^\mathrm c.$

• Dopełnieniem $\scriptstyle B^\mathrm c$ nazywa się zbiór tych elementów, które nie należą do zbioru $\scriptstyle B,$

  $B^\mathrm c = \{x \in \Omega\colon x \not \in B\} = \Omega \setminus B.$

• Różnicą symetryczną $\scriptstyle A \triangle \scriptstyle B$ nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów $\scriptstyle A$ oraz $\scriptstyle B,$

  $A \triangle B = \{x \in \Omega\colon x \in A\ \underline\or\ x \in B\} = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).$

Własności

• łączność sumy i iloczynu (umożliwia wykonywanie jednakowych działań w dowolnej kolejności),

  $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),$

  $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C),$

• przemienność sumy i iloczynu (umożliwia zamianę wykonywania kolejności działania),

  $A \cup B = B \cup A,$

  $A \cap B = B \cap A,$

• rozdzielność sumy względem iloczynu i iloczynu względem sumy,

  $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C),$

  $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),$

• I i II prawo De Morgana,

  $(A \cup B)^\mathrm c = A^\mathrm c \cap B^\mathrm c,$

  $(A \cap B)^\mathrm c =A^\mathrm c \cup B^\mathrm c.$

Przykłady

Niech $\scriptstyle A = \{1, 2, 3, 5\}$ oraz $\scriptstyle B = \{1, 3, 4\},$ a ponadto $\scriptstyle \Omega = \{1, 2, 3, \dots\}.$ Wówczas

$A \cup B = B \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5\},$

$A \cap B = B \cap A = \{1, 3\},$

$A \setminus B = \{2, 5\} \text{ oraz } B \setminus A = \{4\},$

$A^\mathrm c = \{4, 6, 7, 8, \dots\} \text{ oraz } B^\mathrm c = \{2, 5, 6, 7, \dots\},$

$A \triangle B = B \triangle A = \{2, 4, 5\}.$

Uwagi

Działania na zbiorach nazywa się często „mnogościowymi” dla odróżnienia od innych działań, np. algebraicznych: „suma mnogościowa”, „iloczyn mnogościowy”, „różnica mnogościowa” (lub nawet „suma, iloczyn, różnica zbiorów”). Działanie dodawania nazywa się niekiedy „unią”, z kolei różnicę nazywa się czasem „dopełnieniem względnym” (względem innego zbioru); alternatywne nazwy „przekrój”, czy „przecięcie” dla iloczynu są spotykane dużo częściej.

Wraz z osobnymi nazwami działania te mają unikatową symbolikę, choć niekiedy różnicę zbiorów oznacza się znakiem odejmowania, zaś dopełnienie oznacza się często apostrofem, działanie różnicy symetrycznej wydaje się mieć najmniej ustaloną symbolikę: czasami stosuje się symbol dodawania w okręgu; odpowiednio $\scriptstyle A - B,\ A',\ A \oplus B.$

Nazwy i symbole działań na zbiorach odwołujące się do intuicji algebraicznych nie są przypadkowe: niektóre z przedstawionych działań umożliwiają wprowadzenie na podzbiorach danego zbioru różnych struktur algebraicznych (np. ciało zbiorów, pierścień zbiorów itp.), w ogólności wszystkie tworzą one tzw. algebrę Boole'a.

W przypadku działań sumy i iloczynu rozpatruje się również operacje skończone (zdefiniowane indukcyjnie) i nieskończone (zdefiniowane za pomocą kwantyfikatorów, czyli logiki pierwszego rzędu; nazywane też uogólnionymi). Sumę rodziny zbiorów definiuje się jako zbiór tych elementów, dla których istnieje (choć jeden) sumowany zbiór, do którego należą, z kolei iloczyn rodziny zbiorów zawiera wyłącznie te elementy, które należą do wszystkich zbiorów będących czynnikami.

Uogólnienia

Zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów $\scriptstyle a, b,$ nazywany parą (nieuporządkowaną), nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj. $\scriptstyle \{a, b\} = \{b, a\};$ istnieje jednak obiekt nazywany parą uporządkowaną, który ją niesie, tj. $\scriptstyle (a, b) \ne (b, a)$ – w teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy:

$(a, b) = \{\scriptstyle\{a\}\displaystyle , \scriptstyle\{a, b\}\displaystyle\}.$

Iloczynem kartezjańskim $\scriptstyle A \times B$ zbiorów $\scriptstyle A, B$ nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru $\scriptstyle A,$ a drugi do zbioru $\scriptstyle B;$ ze względu na uporządkowanie par jest $\scriptstyle A \times B \ne B \times A,$ o ile czynniki są różne.

Zbiór potęgowy $\scriptstyle \mathcal P(A)$ zbioru $\scriptstyle A$ to rodzina (zbiór zawierający) wszystkie podzbiory zbioru $\scriptstyle A;$ zachodzi $\scriptstyle \#\mathcal P(A) = 2^{\#A}.$

Istnieje wiele uogólnień pojęcia zbioru, wśród nich są m.in.:

• klasa – skupisko elementów dzielących wspólną właściwość;
• multizbiór – zbiór, w którym dany element może występować wielokrotnie;
• n-tka – multizbiór, z określoną kolejnością elementów;
• zbiór rozmyty – zbiór, do którego elementy należą z pewnym prawdopodobieństwem lub częściowo;
• zbiór przybliżony – zbiór odzwierciedlający logikę trójwartościową.

Zobacz też

• rodzina zbiorów
• rodzina indeksowana
• suma rozłączna