Zbiór Cantora

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi $\aleph_0$).

Definicje

Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego $C_0 := [0,1]$ liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$, takich że

$(\otimes)_n$   zbiór $C_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór $C_0$ to odcinek $[0,1]$

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek $(\otimes)_0$). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór $C_n$ tak, że jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych (tzn spełnia $(\otimes)_n$). Każdy z $2^n$ odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru $C_n$ wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc $C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup\ldots \cup I_{2^n})$ (gdzie $I_1,\ldots,I_{2^n}$ to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór $C_{n+1}$ jest sumą $2^{n+1}$ rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek $(\otimes)_{n+1}$ jest spełniony).

Zbiory C₀, C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ i C₆

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg $\langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle$ jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

$C:=\bigcap^{\infty}_{n=0}C_n$.

Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

$\sum^{\infty}_{i=1}\frac{a_{i}}{3^i}$

gdzie $a_i \in \{0, 2\}$. Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału $[0,1]$, dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory $C_n$, tak że każdy z nich jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych długości $\left(\tfrac{1}{3}\right)^n$. Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory $C_{n+1}$ wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na $C_n$ ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $\langle D_0,D_1,D_2,\ldots\rangle$ tak, że każdy zbiór $D_n$ jest sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

$D_0=[0,1]$.

Następnie, przypuśćmy że zbiór $D_n$ jest już wyznaczony i jest on sumą $2^n$ rozłącznych odcinków domkniętych, $D_n=I_1\cup\ldots\cup I_{2^n}$. W centrum każdego z odcinków $I_k$ wybieramy otwarty pododcinek $J_k$ długości $|J_k|=2^{-2(n+1)}$. Kładziemy $D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup\ldots\cup J_{2^n})$.

Zbiory D₀, D₁, D₂, D₃, D₄, D₅

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

$D:=\bigcap^{\infty}_{n=0}D_n$.

Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora $C$:

• ma moc Continuum
• jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
• jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka $[0,1]$,,
• jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a),
• jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów $P_1, P_2, \dots$ domknięto-otwartych i takich, że $\lim{\rm diam}(P_n) = 0$. W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych $\{0,1\}$.

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

$\frac{\ln 2}{\ln 3} = 0,630929754...$

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue'a zero - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary. Na przykład, opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora $D$ ma miarę 1/2 (ale jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue'a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest mocy $2^{\mathfrak{c}}$.

Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też

• funkcja Cantora
• dywan Sierpińskiego
• kostka Mengera
• kostka Cantora