Zbiór Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi \aleph_0).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Podstawowa konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego C_0 := [0,1] liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych \langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle, takich że

(\otimes)_n   zbiór C_n jest sumą 2^n rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór C_0 to odcinek [0,1]

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek (\otimes)_0). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór C_n tak, że jest sumą 2^n rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia (\otimes)_n). Każdy z 2^n odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru C_n wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc C_{n+1}=C_n\setminus (I_1\cup\ldots \cup I_{2^n}) (gdzie I_1,\ldots,I_{2^n} to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór C_{n+1} jest sumą 2^{n+1} rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek (\otimes)_{n+1} jest spełniony).
Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg \langle C_0,C_1,C_2,\ldots\rangle jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

C:=\bigcap^{\infty}_{n=0}C_n.

Alternatywna definicja[edytuj | edytuj kod]

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

\sum^{\infty}_{i=1}\frac{a_{i}}{3^i}

gdzie a_i \in \{0, 2\}. Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału [0,1], dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji[edytuj | edytuj kod]

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory C_n, tak że każdy z nich jest sumą 2^n rozłącznych odcinków domkniętych długości \left(\tfrac{1}{3}\right)^n. Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory C_{n+1} wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na C_n ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych \langle D_0,D_1,D_2,\ldots\rangle tak, że każdy zbiór D_n jest sumą 2^n rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

D_0=[0,1].

Następnie, przypuśćmy że zbiór D_n jest już wyznaczony i jest on sumą 2^n rozłącznych odcinków domkniętych, D_n=I_1\cup\ldots\cup I_{2^n}. W centrum każdego z odcinków I_k wybieramy otwarty pododcinek J_k długości |J_k|=2^{-2(n+1)}. Kładziemy D_{n+1}=D_n\setminus (J_1\cup\ldots\cup J_{2^n}).

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

D:=\bigcap^{\infty}_{n=0}D_n.

Podstawowe właściwości[edytuj | edytuj kod]

Trójkowy zbiór Cantora C:

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

\frac{\ln 2}{\ln 3} = 0,630929754...

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue'a zero - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary. Na przykład, opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora D ma miarę 1/2 (ale jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue'a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest mocy 2^{\mathfrak{c}}.

Zbiór Cantora w szerszym sensie[edytuj | edytuj kod]

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora[edytuj | edytuj kod]

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, "Acta Mathematica" 4 (1884), strony 381-392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ISBN 1-55786-106-4. Strona 121