Zbiór Julii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przykład zbioru Julii, Re(c)>0
Przykład zbioru Julii, Re(c)<0
Zbiór Julii dla c \doteq -0,73 + 0,19 i
Zbiór Julii dla c \doteq -0,10 + 0,65 i

Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną[1]. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Zbiór Julii funkcji ƒ jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou, którzy w latach 1918-1920[2] badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle f(z) będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespolona na nią samą, tj. \scriptstyle f(z) = p(z)/q(z), gdzie \scriptstyle p(z) i \scriptstyle q(z) są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów \scriptstyle F_i, i = 1, \dots, r, które są niezmiennicze przez \scriptstyle f(z) i są takie, że:

  1. suma zbiorów \scriptstyle F_i jest zbiorem gęstym i
  2. \scriptstyle f(z) zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów \scriptstyle F_i.

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów \scriptstyle F_i są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający” a w drugim „neutralny”.

Zbiory \scriptstyle F_idziedziną Fatou funkcji \scriptstyle f(z). a ich suma jest zbiorem Fatou \scriptstyle F(f) funkcji \scriptstyle f(z). Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny \scriptstyle f(z), tj. (skończony) punkt z spełniający \scriptstyle f'(z) = 0, lub z = ∞, jeśli stopień wielomianu licznika \scriptstyle p(z) jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika \scriptstyle q(z) lub jeśli \scriptstyle f(z) = 1/g(z) + c dla pewnej stałej c i funkcja \scriptstyle g(z) spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru \scriptstyle F(f) nazywa się zbiorem Julii \scriptstyle J(f) funkcji \scriptstyle f(z). Zbiór \scriptstyle J(f) jest nigdzie gęsty (nie zawiera punktów wewnętrznych) i nieprzeliczalny (jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych). Oba zbiory \scriptstyle F(f) i \scriptstyle J(f) są w pełni niezmiennicze[3].

Wielomiany kwadratowe[edytuj | edytuj kod]

Zbiór tworzą te punkty p \in \mathbb{C} dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

z_{0} = p
z_{n+1} = z_{n}^{2} + c

nie dąży do nieskończoności:

 \lim _{n \to \infty} z_{n} \not = \infty

gdzie c – liczba zespolona będąca parametrem zbioru. Można wykazać, że jest to równoważne z:

 \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_{n}|<2

Podsumowując jednym zdaniem:

 J(c) = \{p \in \mathbb{C}: \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2 \}

Dla różnych c otrzymuje się różne zbiory, stąd J jest rodziną zbiorów.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli c należy do zbioru Mandelbrota[4].

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg