Zbiór Julii

Przykład zbioru Julii, Re(c)>0

Przykład zbioru Julii, Re(c)<0

Zbiór Julii dla $c \doteq -0,73 + 0,19 i$

Zbiór Julii dla $c \doteq -0,10 + 0,65 i$

Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Zbiór Julii funkcji ƒ jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou, którzy w latach 1918-1920 badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

Definicja

Niech $\scriptstyle f(z)$ będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespolona na nią samą, tj. $\scriptstyle f(z) = p(z)/q(z)$, gdzie $\scriptstyle p(z)$ i $\scriptstyle q(z)$ są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów $\scriptstyle F_i, i = 1, \dots, r$, które są niezmiennicze przez $\scriptstyle f(z)$ i są takie, że:

1. suma zbiorów $\scriptstyle F_i$ jest zbiorem gęstym i
2. $\scriptstyle f(z)$ zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów $\scriptstyle F_i$.

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów $\scriptstyle F_i$ są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający” a w drugim „neutralny”.

Zbiory $\scriptstyle F_i$ są dziedziną Fatou funkcji $\scriptstyle f(z)$. a ich suma jest zbiorem Fatou $\scriptstyle F(f)$ funkcji $\scriptstyle f(z)$. Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny $\scriptstyle f(z)$, tj. (skończony) punkt z spełniający $\scriptstyle f'(z) = 0$, lub z = ∞, jeśli stopień wielomianu licznika $\scriptstyle p(z)$ jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika $\scriptstyle q(z)$ lub jeśli $\scriptstyle f(z) = 1/g(z) + c$ dla pewnej stałej c i funkcja $\scriptstyle g(z)$ spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru $\scriptstyle F(f)$ nazywa się zbiorem Julii $\scriptstyle J(f)$ funkcji $\scriptstyle f(z)$. Zbiór $\scriptstyle J(f)$ jest nigdzie gęsty (nie zawiera punktów wewnętrznych) i nieprzeliczalny (jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych). Oba zbiory $\scriptstyle F(f)$ i $\scriptstyle J(f)$ są w pełni niezmiennicze.

Wielomiany kwadratowe

Zbiór tworzą te punkty $p \in \mathbb{C}$ dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

$z_{0} = p$

$z_{n+1} = z_{n}^{2} + c$

Nie dąży do nieskończoności:

$\lim _{n \to \infty} z_{n} \not = \infty$

gdzie c – liczba zespolona będąca parametrem zbioru. Można wykazać, że jest to równoważne z:

$\forall_{n \in \mathbb{N}} |z_{n}|<2$

Podsumowując jednym zdaniem:

$J(c) = \{p \in \mathbb{C}: \forall_{n \in \mathbb{N}} |z_n|<2 \}$

Dla różnych c otrzymuje się różne zbiory, stąd J jest rodziną zbiorów.

Własności

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny jeżeli c należy do zbioru Mandelbrota.

Bibliografia

• Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, s. 89-101. ISBN 83-204-1676-0.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W., „Julia Set” na MathWorld.