Zbiór Vitalego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór Vitalegopodzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Konstrukcja (wymagająca założenia aksjomatu wyboru) została podana przez Giuseppe Vitalego w 1905[1]. Konstrukcja zbioru Vitalego pokazuje, że nie istnieje miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach [a,b] dla a<b i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech \lambda oznacza miarę Lebesgue'a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację ~ w następujący sposób:

x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x – y jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru V, który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

Jeśli V jest zbiorem Vitalego, to:

  • różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
  • (V+q)\cap (V+q^\prime)=\varnothing dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych q,\,q^\prime.

Oznacza to, że rodzina

\mathcal{V}=\{V+q\colon q\in [-1,1]\cap \mathbb{Q}\}

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby V był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci V+q byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue'a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że \bigcup \mathcal{V} jest zbiorem mierzalnym oraz

1\leq \lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)\leq 3

ponieważ

[0,1]\subseteq \bigcup \mathcal{V} \subseteq [-1,2].

V nie może być więc miary zero - nie może być również zbiorem miary dodatniej, co prowadzi do sprzeczności, bo wówczas

\lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)=\infty.

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu "konstrukcja zbioru Vitalego" w znaczeniu "definicja takich zbiorów".

Przypisy

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]