Zbiór Vitalego

Zbiór Vitalego – podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Konstrukcja (wymagająca założenia aksjomatu wyboru) została podana przez Giuseppe Vitalego w 1905. Konstrukcja zbioru Vitalego pokazuje, że nie istnieje miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach $[a,b]$ dla $a<b$ i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Konstrukcja

Niech $\lambda$ oznacza miarę Lebesgue'a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację ~ w następujący sposób:

x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x – y jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru $V$, który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

Jeśli V jest zbiorem Vitalego, to:

• różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
• $(V+q)\cap (V+q^\prime)=\varnothing$ dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych $q,\,q^\prime$.

Oznacza to, że rodzina

$\mathcal{V}=\{V+q\colon q\in [-1,1]\cap \mathbb{Q}\}$

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby $V$ był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci $V+q$ byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue'a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że $\bigcup \mathcal{V}$ jest zbiorem mierzalnym oraz

$1\leq \lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)\leq 3$

ponieważ

$[0,1]\subseteq \bigcup \mathcal{V} \subseteq [-1,2].$

$V$ nie może być więc miary zero - nie może być również zbiorem miary dodatniej, co prowadzi do sprzeczności, bo wówczas

$\lambda\Big(\bigcup \mathcal{V}\Big)=\infty$.

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu "konstrukcja zbioru Vitalego" w znaczeniu "definicja takich zbiorów".

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 323-324. ISBN 978-83-01-15232-1.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 118-119.

Zobacz też

• zbiór Bernsteina,
• paradoks Banacha-Tarskiego