Zbiór algebraiczny

Zbiór algebraiczny - w geometrii algebraicznej, podzbiór przestrzeni afinicznej $K^n$, gdzie $K$ oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru $\mathcal{S}$ wielomianów pierścienia $K[X_1,\ldots,X_n]$. Innymi słowy, zbiór

$V=\{(x_1,\ldots,x_n)\in K^n\colon\; f(x_1,\ldots,x_n)=0,\; f\in \mathcal{S}\subset K[X_1,\ldots,X_n]\}$

nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór $\mathcal{S}$ wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru $\mathcal S$ i oznaczamy $V=\mathcal{Z}(\mathcal{S})$.

Jeśli $(\mathcal{S})$ jest ideałem pierścienia $K[X_1,\ldots,X_n]$, generowanym przez zbiór $\mathcal{S}$, to $\mathcal{Z}((\mathcal{S}))=\mathcal{Z}(\mathcal{S})$. Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia $K[X_1,\ldots, X_n]$ jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany $f_1,\ldots, f_r$, które generują ideał $(\mathcal{S})$. Z drugiej strony dla każdego wielomianu $f\in (\mathcal{S})$ istnieją wielomiany $g_1,\ldots, g_r\in K[X_1,\ldots, X_n]$, że

$f=g_1f_1+\ldots+h_rf_r$.

Wynika stąd, że każde zero wielomianów $f_1, \ldots, f_r$ jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału $(\mathcal{S})$. Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych

$\left\{\begin{array}{l}f_1(x_1,\ldots, x_n)=0\\ \vdots \\ f_r(x_1, \ldots, x_n)=0\end{array}\right.$.

Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń $K^n$, natomiast zerem ideału jednostkowego $(1)$ jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały $1$ nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni $K^n$ są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni $K^n$. Topologia Zariskiego przestrzeni $K^{n+m}=K^n\times K^m$ nie jest topologią Tichonowa.

Źródła

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.