Zbiór analityczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michała Suslina[1].

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich[edytuj | edytuj kod]

Niech {\mathcal N} oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej X definiujemy klasy \Sigma^1_1(X) i \Pi^1_1(X) następująco:

  • \Sigma^1_1(X) jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego B\subseteq X\times{\mathcal N} mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_1(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_1(X).

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy \Sigma^1_1,\Pi^1_1 (zamiast \Sigma^1_1(X),\Pi^1_1(X)).

Zbiory należące do klasy \Sigma^1_1(X) nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni X, a zbiory z klasy \Pi^1_1(X) są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni X. Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
  • Dla ciągux\in 2^{\mathbb N} niech R_{x}=\{(n,m)\in {\mathbb N}\times {\mathbb N}: x(2^n\cdot (2m+1))=1\}. Tak więc, dla każdego x\in 2^{\mathbb N}, zbiór R_x jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych {\mathbb N}. Rozważmy zbiór
{\bold{WO}}=\{x\in 2^{\mathbb N}: R_x jest dobrym porządkiem na {\mathbb N}\}.
Wówczas {\bold{WO}} jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie 2^{\mathbb N}\setminus {\bold{WO}} jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski.)

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, f:X\longrightarrow Y jest funkcją ciągłą oraz A\in \Sigma^1_1(X), to f(A)\in\Sigma^1_1(Y). W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
  • Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
  • Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
  • Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
  • Jeśli A,Brozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej X, to można znaleźć taki zbiór borelowski C\subseteq X, że A\subseteq C oraz C\cap B=\emptyset. W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1\cup \Pi^1_1 mają własność Baire'a.
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R}) są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z \Sigma^1_1({\mathcal N}) są zdeterminowane[2].
  • Przypuśćmy, że X,Y są przestrzeniami polskimi i A\subseteq X\times Y jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny B\subseteq A który jest wykresem funkcji o dziedzinie \{x\in X:(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\}.
Powyższe twierdzenie przy założeniu że A jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[3] a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo[4].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis. "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris", 164 (1917), s. 88-91.
  2. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
  3. Sierpinski, Wacław: Sur l'uniformisation des ensembles mesurables (B). "Fundamenta Math." 16 (1930), s. 136-139.
  4. Kondô, Motokiti: Sur l'uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. "Japan. J. Math." 15 (1938), s. 197-230.