Zbiór doskonały

Zbiór doskonały – w przestrzeni topologicznej zbiór domknięty i wszędzie gęsty, to znaczy taki, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli $A^d$ oznacza pochodną zbioru $A$, to w przestrzeni T1 zbiór $A$ jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną: $A=A^d$.

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.