Zbiór doskonały

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór doskonały – w przestrzeni topologicznej zbiór domknięty i wszędzie gęsty, to znaczy taki, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli A^d oznacza pochodną zbioru A, to w przestrzeni T1 zbiór A jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną: A=A^d.

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskich[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli X jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że X jest mocy 2^{\aleph_0}.

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech X będzie przestrzenią polską. Wówczas X można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci X=P\cup C, gdzie P jest zbiorem doskonałym a C zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy 2^{\aleph_0} [1].

Przypisy

  1. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.