Zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – w teorii grup podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to podzbiór grupy, którego każdy element można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli $S$ jest podzbiorem grupy $G,$ to podgrupa generowana przez $S$, oznaczana $\langle S \rangle,$ jest najmniejszą podgrupą grupy $G$ zawierającą każdy element $S,$ czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy $S;$ równoważnie $\langle S \rangle$ to podgrupa tych wszystkich elementów $G,$ które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów $S$ i ich odwrotności.

Jeśli $G = \langle S \rangle,$ to mówi się, że $S$ generuje $G;$ elementy $S$ nazywa się wtedy generatorami grupy $G.$ Jeśli $S$ jest zbiorem pustym, to $\langle S \rangle$ jest grupą trywialną $\{e\},$ ponieważ za iloczyn pusty uważa się tożsamość.

Jeśli $S$ zawiera tylko jeden element $x,$ to zwykle pisze się $\langle x \rangle$ (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku $\langle x \rangle$ jest podgrupą cykliczną potęg $x,$ która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grup ta jest generowana przez $x.$ O tym, że $x$ generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż $\langle x \rangle$ jest równe całej grupie $G.$ Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż $x$ ma rząd równy $|G|.$

Grupa skończenie generowana

Jeżeli $S$ jest skończony, to grupę $G = \langle S \rangle$ nazywa się skończenie generowaną. W szczególności łatwo opisać strukturę skończenie generowanych grup abelowych. Wiele twierdzeń, które są prawdziwe dla grup skończenie generowanych nie obowiązuje już dla ogólnych grup. Dowiedziono, że jeżeli grupa skończona jest generowana przez podzbiór $S,$ to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem $S$ o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ $\langle G \rangle = G.$ Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez $\langle 1 \rangle,$ jak i $\langle -1 \rangle,$ a z kolei grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów. Żadna grupa nieprzeliczalna nie może być skończenie generowana.

Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli $p$ i $q$ są względnie pierwsze, czyli ich największy wspólny dzielnik jest jedynką, to $\langle p, q \rangle$ również generują grupę liczb całkowitych z dodawaniem (na mocy tożsamości Bézouta).

Choć prawdą jest, że każdy iloraz grupy skończenie generowanej jest skończenie generowany (wystarczy wziąć obrazy generatorów w ilorazie), to podgrupa grupy skończenie generowanej nie musi być skończenie generowana. Otóż niech $G$ oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, $x$ oraz $y$ (co oznacza, że jest ona skończenie generowana), zaś $S$ będzie podzbiorem składającym się ze wszystkich elementów $G$ postaci $y^nxy^{-n}$ dla $n$ będącego liczbą naturalną. Ponieważ $\langle S \rangle$ jest izomorficzna z grupą wolną o przeliczalnej liczbie generatorów, to nie może być ona skończenie generowana. Jednakże każda podgrupa skończenie generowanej grupy abelowej sama jest skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Grupa wolna

Najogólniejszą grupą generowaną przez zbiór $S$ jest generowana w sposób wolny przez $S.$ Każda grupa generowana przez $S$ jest izomorficzna z grupa ilorazową tej grupy; jest to cecha wykorzystywana w przedstawieniu grupy za pomocą jej prezentacji.

Podgrupa Frattiniego

Interesującym tematem pobocznym jest zagadnienie nie-generatorów. Element $x$ grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór $S$ zawierający $x$ dalej generuje $G,$ jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest $0.$ Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w $G$ nazywaną podgrupą Frattiniego.

Przykłady

Grupa elementów odwracalnych $\operatorname U(\mathbb Z_9)$ to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z $9$ względem mnożenia modulo $9,$ tzn. liczb ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ z arytmetyką modulo $9.$ Siódemka nie jest generatorem $\operatorname U(\mathbb Z_9),$ gdyż

$\{7^n \pmod 9\colon n \in \mathbb N\} = \{7, 4, 1\},$

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

$\{2^n \pmod 9\colon n \in \mathbb N\} = \{2, 4, 8, 7, 5, 1\}.$

Z drugiej strony, dla $n < 2$ grupa symetryczna stopnia $n$ nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje $(1\ 2)$ oraz $(1\ 2\ \dots\ n).$ Przykładowo dla $S_3$ jest:

$\begin{align} e & = (1\ 2)(1\ 2), \\ (1\ 2) & = (1\ 2), \\ (1\ 3) & = (1\ 2)(1\ 2\ 3), \\ (2\ 3) & = (1\ 2\ 3)(1\ 2), \\ (1\ 2\ 3) & = (1\ 2\ 3), \\ (1\ 3\ 2) & = (1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{align}$

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, $1.$ Element $2$ nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy $\{3, 5\}$ dla odmiany generuje tę grupę, gdyż $(-5) + 3 = 1$ (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz też

• graf Cayleya
• zbiór generatorów dla innych struktur
• prezentacja grupy

Bibliografia

• Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr.. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4.

Linki zewnętrzne

• Mathworld: Generatory grupy