Zbiór jednoelementowy

Zbiór jednoelementowy – w teorii mnogości zbiór, do którego należy jeden i tylko jeden element; czasami nazywany jest zbiorem jednostkowym lub singletonem. Zbiór zawierający wyłącznie element y oznacza się zwykle {y}; można go scharateryzować w następujący sposób:

$x \in \{ y \} \ \Leftrightarrow x = y.$

Zbiory jednoelementowe mają następujące dwie kluczowe własności:

$\{a\} \cap \{b\} = \varnothing \Leftrightarrow a \neq b \Leftrightarrow \{a\} \neq \{b\}$

oraz

$\{a\} = \{b\} \Leftrightarrow a = b$

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

$A = \bigcup\limits_{x \in A} \{x\}$.

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermelo-Fraenkla teorii mnogości.

Przykłady

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czym innym niż element, który zawiera:

• Zbiór $\mathbb N$ zawiera wszystkie liczby naturalne, a $\{\mathbb N\}$ to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.

• Podobnie $\varnothing$ jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: $\forall x\colon x \not \in \varnothing,$ natomiast zbiór $\{\varnothing\}$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności $\{\varnothing\} \neq \varnothing.$ Podobnie $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\} \neq \varnothing$ oraz $\bigl\{\{\varnothing\}\bigr\} \neq \{\varnothing\}.$ Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego; wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych.

Zachodzi

$x \in X \Leftrightarrow \{x\} \subset X.$

Zbiór $2^X$ wszystkich podzbiorów zbioru X jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru X:

$2^X = \bigcup\limits_{Y \subset X} \{Y \}$,

co można także zapisać w postaci

$Y \in 2^X \Leftrightarrow Y \subset X$

Zbiór jednoelementowy odgrywa ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

$\langle a, b\rangle = \{ \{a \}, \{ a, b \} \}$.

W topologii przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ zbiór {x} jest domknięty. Każdy zbiór jednoelementowy {x} może zostać przekształcony w przestrzeń topologiczną, w której każdy podzbiór jest otwarty. Rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz {x}.

W niektórych kategoriach, np. w kategorii zbiorów Set, obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi.