Zbiór ograniczony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Porządki częściowe[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\sqsubseteq) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że A\subseteq X i s\in X. Powiemy, że

  • element s jest ograniczeniem górnym zbioru A jeśli (\forall a\in A)(a\sqsubseteq s),
  • element s jest ograniczeniem dolnym zbioru A jeśli (\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)[1].

Każdy element zbioru  X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru  A , to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór  A zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór A przestrzeni X nazywany jest zbiorem ograniczonym (w  X ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli

\sup\{d(x,y)\colon\,x,y\in A\}<\infty.

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Niech  X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór A\subseteq X jest ograniczony w  X , gdy dla każdego otoczenia zera U\subseteq X istnieje \alpha\in (0,\infty), że A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}.

Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Przypisy

  1. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]