Zbiór otwarto-domknięty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór otwarto-domknięty – pojęcie w topologii, podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W każdej przestrzeni topologicznej X, zbiór pusty oraz cała przestrzeń X są zbiorami otwarto-domkniętymi.
  • Niech przestrzeń X = [0,1] ∪ [2,3] będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń X ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, X, [0,1], [2,3].
  • Rozważmy zbiór {\mathbb Q} liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór A=\{r\in{\mathbb Q}:r^2<2\} jest otwarto-domkniętym podzbiorem {\mathbb Q}. Ogólniej, jeśli I jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to I\cap {\mathbb Q} jest otwarto-domkniętym podzbiorem {\mathbb Q} (mimo, iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej).
  • Jeśli J\subseteq{\mathbb R} jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to J\setminus {\mathbb Q} jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych {\mathbb R}\setminus {\mathbb Q} (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w {\mathbb R}).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń topologiczna X jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X.
  • Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
  • Rodzina Clop(X) wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni X tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura ({\rm Clop}(X),\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X) jest algebrą Boole'a.
  • Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]