Zbiór otwarto-domknięty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Zbiór otwarto-domknięty – pojęcie w topologii, podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Spis treści

W każdej przestrzeni topologicznej X, zbiór pusty oraz cała przestrzeń X są zbiorami otwarto-domkniętymi.
Niech przestrzeń X = [0,1] ∪ [2,3] będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń X ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, X, [0,1], [2,3].
Rozważmy zbiór ${\mathbb Q}$ liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór $A=\{r\in{\mathbb Q}:r^2<2\}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem ${\mathbb Q}$ . Ogólniej, jeśli I jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to $I\cap {\mathbb Q}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem ${\mathbb Q}$ (mimo, iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej).
Jeśli $J\subseteq{\mathbb R}$ jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to $J\setminus {\mathbb Q}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych ${\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}$ (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ${\mathbb R}$ ).

Przestrzeń topologiczna X jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X.
Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
Rodzina Clop(X) wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura $({\rm Clop}(X),\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X)$ jest algebrą Boole'a.
Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 234. ISBN 978-83-01-15232-1.