Zbiór pierwszej kategorii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W topologii zbiór nazywamy zbiorem pierwszej kategorii (czasami zbiorem mizernym), jeżeli można go przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Bardziej formalnie, niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy że zbiór A\subseteq X jest pierwszej kategorii Baire'a w X (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n, gdzie każdy ze zbiorów A_n jest nigdziegęsty w X (tzn {\rm int}\big({\rm cl}(A_n)\big)=\emptyset). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w X będziemy oznaczać przez {\mathcal K}(X) (albo po prostu przez {\mathcal K} jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire'a (lub II kategorii).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni X tworzą σ-ideał podzbiorów X. Każdy zbiór z {\mathcal K}(X) jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ który też jest pierwszej kategorii.
  • Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
  • Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli X,Y są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski \varphi:X\longrightarrow Y który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn A\in {\mathcal K}(X) wtedy i tylko wtedy gdy \varphi(A)\in {\mathcal K}(Y)).
  • Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej {\mathbb R} które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

K jest zbiorem pierwszej kategorii, a
L jest zbiorem miary zero Lebesgue'a.
Aby podać przykład takich zbiorów K,L ustalmy numerację \langle q_n:n=1,2,3,\ldots\rangle zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych n,m niech I^n_m będzie odcinkiem otwartym o środku w q_n i długości 2^{-(n+m)}. Wówczas zbiór L=\bigcap\limits_{m=1}^\infty\bigcup\limits_{n=1}^\infty I^n_m jest miary zero, ale jego dopełnienie K={\mathbb R}\setminus L jest pierwszej kategorii.
  • Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
  • Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech {\mathcal C}([0,1]) będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka [0,1] w zbiór liczb rzeczywistych {\mathbb R}. Wyposażmy {\mathcal C}([0,1]) w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę
d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:x\in [0,1]\}.
Wówczas {\mathcal C}([0,1]) jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
NR=\big \{f\in {\mathcal C}([0,1]): f nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka [0,1]\ \big\}.
Banach udowodnił, że zbiór {\mathcal C}([0,1])\setminus NR jest pierwszej kategorii w {\mathcal C}([0,1]), czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura[edytuj | edytuj kod]

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem \mathbb R. Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonuja nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi n=1,2,3,\ldots. Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty I_1 a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału I_2\subseteq I_1. Kiedy gracze dochodzą do ntego kroku w grze, to mają oni skontruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych I_1\supseteq I_2\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}. Na ntym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty I_{2n}\subseteq I_{2n-1}, a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy że Gracz B wygrał partię \langle I_n:n=1,2,3,4,\ldots\rangle wtedy i tylko wtedy gdy \bigcap\limits_{n=1}^\infty I_n\subseteq Z.

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy gdy zbiór {\mathbb R}\setminus Z jest pierwszej kategorii.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]