Zbiór rozmyty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów[1].

Przeciwdziedzina funkcji przynależności klasycznego zbioru ma jedynie dwie wartości: 0 i 1.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X jest zbiór uporządkowanych par:

A=\{(x, \mu_A(x))|x \in X\},

gdzie \mu_A\colon X \to [0,1].\

Przykładem zbioru rozmytego może być "zbiór wysokich ludzi". Oczywiście niektórzy ludzie są wysocy (przynależność 1), inni zaś nie są (przynależność 0), jest jednak duża grupa ludzi pomiędzy tymi dwiema skrajnościami, dla których funkcja przynależności przyjmuje wartości pośrednie.

W teorii zbiorów rozmytych używane są różne funkcje przynależności. Najczęściej stosowane to funkcja trapezowa, trójkątna i tak zwana s-funkcja.

Ze zbiorem rozmytym związane są następujące wielkości:

  • nośnik (ang. support) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów x, których wartość funkcji przynależność jest większa od zera:
Support(A)=\{x|\mu_A(x)>0\}\;
  • rdzeń (ang. core) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów x, których wartość funkcji przynależności jest równa 1:
Core(A)=\{x|\mu_A(x)=1\}\;
  • wysokość (ang. height) zbioru rozmytego A: największa wartość funkcji przynależności
h=sup\{\mu_A(x)|x \in X\}\;

Zbiór rozmyty jest znormalizowany, wtedy i tylko wtedy, gdy h=1.

Topologia zbiorów rozmytych[edytuj | edytuj kod]

Zbiór rozmyty jest wypukły, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y, z, x \leqslant y \leqslant z spełniona jest zależność:

\mu_A(y) \geqslant min[\mu_A(x), \mu_A(z)].

Relacje zbiorów rozmytych[edytuj | edytuj kod]

Na zbiorach rozmytych zdefiniowane są podobne relacje, co na klasycznych zbiorach.

  • relacja równości, przy czym A, B \subset U
A=B \harr \forall_{u \in U} \mu_A (u) = \mu_B (u)
  • relacja zawierania
 A \subseteq B \harr \forall_{u \in U} \mu_A (u) \leqslant \mu_B (u)
 A \subset B \harr \forall_{u \in U} \mu_A (u) < \mu_B (u)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets". Information and Control 8 (3) 338–353.