Zbiór stacjonarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W teorii mnogości, zbiory stacjonarne i cluby to podzbiory liczb kardynalnych (traktowanych jako liczby porządkowe) które są w pewnym sensie duże.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech \kappa będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

  • Powiemy, że zbiór C\subseteq\kappa jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na \kappa, który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby \alpha<\kappa mamy
(\forall\beta<\alpha)(\exists \gamma\in C)(\beta<\gamma<\alpha)\quad\Rightarrow\ \alpha\in C.
  • Zbiór C\subseteq\kappa jest nieograniczony w \kappa jeśli (\forall\alpha<\kappa)(\exists \beta\in C)(\alpha<\beta).
  • Powiemy, że zbiór C\subseteq\kappa jest clubem w \kappa jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
  • Zbiór S\subseteq\kappa jest stacjonarnym podzbiorem \kappa, jeśli C\cap S\neq \emptyset dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru C\subseteq\kappa.
  • Zbiór S\subseteq\kappa jest niestacjonarnym podzbiorem \kappa, jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy C\cap S=\emptyset dla pewnego cluba C\subseteq\kappa.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (np taka nazwa używana jest w monografii Kunena[1])

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech \kappa będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż \kappa jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych \alpha<\kappa o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem \kappa.
  • Dla każdej funkcjig:\kappa\longrightarrow\kappa, zbiór \{\delta<\kappa:(\forall\alpha<\delta)(g(\alpha)<\delta)\} jest clubem w \kappa.
  • Jeśli {\mathcal C} jest rodziną clubów na \kappa, |{\mathcal C}|<\kappa, to przekrój \bigcap {\mathcal C} też jest clubem.
  • Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina
\{A\subseteq \kappa:C\subseteq A dla pewnego cluba C\subseteq\kappa\}
jest \kappa-zupełnym filtrem podzbiorów \kappa.
Rodzina {\mathcal{NS}}_\kappa wszystkich niestacjonarnych podzbiorów \kappa tworzy \kappa-zupełny ideał podzbiorów \kappa.
  • Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem \kappa oraz f:S\longrightarrow\kappa jest funkcją taką że (\forall\alpha\in S\setminus\{0\})(f(\alpha)<\alpha), to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem \kappa, to istnieje funkcja f:S\longrightarrow\kappa taka że (\forall\alpha\in S\setminus\{0\})(f(\alpha)<\alpha) która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)

Przypisy

  1. Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp. ISBN 0-444-85401-0

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]