Zbieżność punktowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbieżność punktowa – własność ciągu funkcji, tzw. ciągu funkcyjnego, mówiąca, iż ciąg wartości dla każdego argumentu funkcji jest zbieżny.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d_X) oraz (Y, d_Y) będą przestrzeniami metrycznymi, zaś f_n\colon X \to Y dla n \in \mathbb N. Wówczas ciąg funkcji (f_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f\colon X \to Y, jeżeli dla każdego x_0 \in X istnieje granica \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = f(x_0). Mówi się wtedy, że f jest granicą punktową ciągu (f_n)_{n \in \mathbb N}.

Formalnie warunek ten można zapisać wzorem

\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n \geqslant n_0}\; d_Y\bigl(f_n(x), f(x)\bigr) < \varepsilon.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciągłe funkcje \sin^n x (zaznaczone na zielono) są zbieżne punktowo do funkcji nieciągłej (zaznaczonej na czerwono).
  • Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład niech dane będą funkcje f_n\colon [0,\pi]\to [0,1] dane wzorem f_n(x)=\sin^n x dla x \in [0,\pi] oraz n \in \mathbb N. Ciąg (f_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f\colon [0,\pi] \to [0,1] opisanej wzorem
f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \in [0,\pi/2) \cup (\pi/2, \pi] \\ 1 & \text{dla } x = \pi/2 \end{cases}

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli f_n, g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R oraz ciąg (f_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f, a ciąg (g_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji g oraz \alpha, \beta \in \mathbb R, to
    ciąg (\alpha \cdot f_n + \beta \cdot g_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji \alpha \cdot f + \beta \cdot g,
    ciąg (f_n \cdot g_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f \cdot g,
    jeśli dodatkowo g_n(x) \ne 0 \ne g(x) dla wszystkich x \in \mathbb R, to ciąg \left({f_n \over g_n}\right)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f \over g.
  • Jeśli f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R (dla n \in \mathbb N) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji f\colon \mathbb R \to \mathbb R, to f jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich (zob. dalej).
  • Twierdzenie Baire’a: Jeśli X,Y są przestrzeniami metrycznymi, f_n\colon X \to Y (dla n \in \mathbb N) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg (f_n)_{n \in \mathbb N} jest zbieżny punktowo do funkcji f\colon X \to Y, to zbiór
\{x \in X\colon f nie jest ciągła w punkcie x\}
jest pierwszej kategorii.

Klasy Baire’a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: zbiór borelowski.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n w liczby rzeczywiste \mathbb R był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a w 1899[1]. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue'a w 1905[2]. Polski matematyk, Stefan Banach, uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931[3].

Poniżej X, Y są przestrzeniami polskimi, z kolei \mathcal N jest przestrzenią Baire’a.

  • Funkcja f\colon X \to Y jest \Sigma^0_\xi-mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej \xi<\omega_1) jeśli dla każdego zbioru otwartego U \subseteq Y mamy, że f^{-1}(U) \in \Sigma^0_\xi(X).
  • Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje \Sigma^0_1-mierzalne. Można sprawdzić, że f\colon X \to Y jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest \Sigma^0_\xi-mierzalna dla pewnego \xi<\omega_1.
  • Można udowodnić, że funkcja f\colon \mathcal N \to Y jest \Sigma^0_2-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest granicą punktową funkcji ciągłych.
  • Przez indukcję po liczbach porządkowych \xi<\omega_1 określamy kiedy funkcja f\colon X \to Y jest klasy Baire’a \xi:
    f jest klasy Baire’a 0, jeśli f jest ciągła,
    f jest klasy Baire’a 1, jeśli f nie jest ciągła, ale jest \Sigma^0_2-mierzalna,
    f jest klasy Baire’a \xi, jeśli nie jest ona żadnej klasy \zeta; dla \zeta<\xi, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji (f_n)_{n \in \mathbb N}, gdzie każda f_n jest klasy Baire’a \zeta_n<\xi.
  • Okazuje się, że jeśli f\colon X \to Y jest klasy Baire’a \xi, to jest ona \Sigma^0_{\xi+1}-mierzalna. I na odwrót, jeśli f\colon X \to Y jest \Sigma^0_{\xi+1}-mierzalna, to jest ona klasy Baire’a \zeta dla pewnego \zeta \leqslant \xi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. „Annali di Mat.” (3) 3 (1899), s. 1-123.
  2. Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. „Journ. de Math.” (6) 1 (1905), s. 139-216.
  3. Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. „Fundamenta Mathematicae” 17 (1931), s. 283-295.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]