Zbieżność według rozkładu

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem „słabą” zbieżnością.

Definicja

Niech $(\Omega, \mathcal{F}, P )$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $F_{\xi}$ oznacza dystrybuantę wektora losowego $\xi .$ Ciąg wektorów losowych $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego $\xi$, jeżeli ciąg dystrybuant $(F_{\xi_k})_{k\in \mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F_\xi.$ Wektor losowy $\xi$ nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi

• Zdanie "ciąg $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ jest zbieżny według rozkładu do $\xi$", używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:

$\xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \xi .$

• Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to z stąd, iż jeśli $\xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \xi$ to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora $\xi$ jest granicą ciągu $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład

Na przestrzeni probabilistycznej $( [0,1], \mathcal{B} ([0,1]), P )$, gdzie $P$ jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a określoną na σ-ciele $\mathcal{B}([0,1])$ borelowskich podzbiorów przedziału $[0,1]$, określamy ciąg $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ zmiennych losowych, danych wzorami:

$\xi_k (\omega) = \left \{ \begin{matrix} 0, & 0 \leqslant \omega \leqslant \frac{k}{2k+1} \\ 1, & \frac{k}{2k+1} < \omega \leqslant 1 \end{matrix} \right.,\, k\in \mathbb{N}$

Dystrybuanta $F_{\xi_k} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zmiennej losowej $\xi_k$ jest więc postaci:

$F_{\xi_k} (x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x \leqslant 0 \\ \frac{k}{2k+1}, & 0 < x \leqslant 1 \\ 1, & x > 1 \end{matrix} \right.$

Ciąg dystrybuant $(F_{\xi_k})_{k \in \mathbb{N}}$ jest, przy $k \to \infty$ zbieżny do dystrybuanty $F (x)$ danej wzorem:

$F (x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x \leqslant 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 < x \leqslant 1 \\ 1, & x > 1 \end{matrix} \right.$

w każdym punkcie $x$ będącym punktem ciągłości dystrybuanty $F .$ Ciąg $(F_{\xi_k})_{ k \in \mathbb{N}}$ jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty $F .$

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych $(\xi_k)_{ k \in \mathbb{N}}$ w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa $\eta (\omega)$ dana wzorem:

$\eta (\omega) = \left \{ \begin{matrix} 0, & 0 \leqslant \omega < \frac{1}{2} \\ 1, & \frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant 1 \end{matrix} \right.$

jak również zmienna losowa $\gamma (\omega)$ dana wzorem:

$\gamma (\omega) = \left \{ \begin{matrix} 1, & 0 \leqslant \omega < \frac{1}{2} \\ 0, & \frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant 1 \end{matrix} \right.$

Reasumując:

$\xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \eta$ oraz $\xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \gamma .$

Bibliografia

• Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo : teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484-488. ISBN 83-204-0524-6.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 53. ISBN 83-01-09054-5.