Zbieżność według rozkładu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem „słabą” zbieżnością[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech  (\Omega, \mathcal{F}, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech  F_{\xi} oznacza dystrybuantę wektora losowego  \xi . Ciąg wektorów losowych  (\xi_k)_{k \in \mathbb{N}} jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego  \xi , jeżeli ciąg dystrybuant  (F_{\xi_k})_{k\in \mathbb{N}} jest słabo zbieżny do dystrybuanty  F_\xi. Wektor losowy  \xi nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych  (\xi_k)_{k \in \mathbb{N}} w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Zdanie "ciąg  (\xi_k)_{k \in \mathbb{N}} jest zbieżny według rozkładu do  \xi ", używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:
 \xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \xi .
  • Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to z stąd, iż jeśli  \xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \xi to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora  \xi jest granicą ciągu  (\xi_k)_{k \in \mathbb{N}} w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Twierdzenie Craméra-Wolda.

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Na przestrzeni probabilistycznej  ( [0,1], \mathcal{B} ([0,1]), P ) , gdzie  P jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a określoną na σ-ciele  \mathcal{B}([0,1]) borelowskich podzbiorów przedziału  [0,1] , określamy ciąg  (\xi_k)_{k \in \mathbb{N}} zmiennych losowych, danych wzorami:

 \xi_k (\omega) = \left \{ \begin{matrix}
0, & 0 \leqslant \omega \leqslant \frac{k}{2k+1} \\
1, & \frac{k}{2k+1} < \omega \leqslant 1
\end{matrix} \right.,\, k\in \mathbb{N}

Dystrybuanta  F_{\xi_k} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} zmiennej losowej  \xi_k jest więc postaci:

 F_{\xi_k} (x) = \left \{ \begin{matrix}
0, & x \leqslant 0 \\
\frac{k}{2k+1}, & 0 < x \leqslant 1 \\
1, & x > 1
\end{matrix} \right.

Ciąg dystrybuant  (F_{\xi_k})_{k \in \mathbb{N}} jest, przy  k \to \infty zbieżny do dystrybuanty  F (x) danej wzorem:

 F (x) = \left \{ \begin{matrix}
0, & x \leqslant 0 \\
\frac{1}{2}, & 0 < x \leqslant 1 \\
1, & x > 1
\end{matrix} \right.

w każdym punkcie  x będącym punktem ciągłości dystrybuanty  F . Ciąg  (F_{\xi_k})_{ k \in \mathbb{N}} jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty  F .

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych  (\xi_k)_{ k \in \mathbb{N}} w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa  \eta (\omega) dana wzorem:

 \eta (\omega) = \left \{ \begin{matrix}
0, & 0 \leqslant \omega < \frac{1}{2} \\
1, & \frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant 1
\end{matrix} \right.

jak również zmienna losowa  \gamma (\omega) dana wzorem:

 \gamma (\omega) = \left \{ \begin{matrix}
1, & 0 \leqslant \omega < \frac{1}{2} \\
0, & \frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant 1
\end{matrix} \right.

Reasumując:

 \xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \eta oraz  \xi_k \xrightarrow[ k \to \infty ]{F} \gamma .

Przypisy

  1. „Słabą”, ponieważ jeżeli ciąg wektorów losowych jest zbieżny według miary lub zbieżny prawie na pewno do pewnego wektora losowego, to jest zbieżny według rozkładu do tego wektora.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]