Zdarzenia losowe rozłączne

Zdarzenia losowe rozłączne (albo wykluczające się) to para zdarzeń losowych $A,B,$ których część wspólna jest zdarzeniem niemożliwym:

$A\cap B=\emptyset .$

Przykład

Jeżeli przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich wyników rzutu kostką $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ to zdarzenia:

A – wypadła parzysta liczba oczek,

B – wypadła nieparzysta liczba oczek

są rozłączne.

Uogólnienie

W przypadku większej liczby zdarzeń mówimy o zdarzeniach „parami rozłącznych” lub „parami wykluczających się”.

Niech $(A_{i})$ będzie rodziną zdarzeń w pewnej przestrzeni $\Omega .$ Zdarzenia tej rodziny są parami rozłączne jeżeli dowolne dwa różne zdarzenia $A_{i}$ i $A_{j}$ są rozłączne:

$i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset .$

Jeśli rodzina $(A_{i})$ spełnia dodatkowo warunek:

$\bigcup A_{i}=\Omega$

nazywa się ją podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych. Przykładowym podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych jest rodzina $\{A,A'\}$ dla dowolnego zdarzenia losowego $A.$

Własności

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Dla dwóch zdarzeń rozłącznych zachodzi wzór:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Jeżeli rodzina zdarzeń $(A_{i})$ jest przeliczalna oraz zdarzenia z tej rodziny są parami rozłączne, to prawdziwy jest wzór:

$P\left(\bigcup A_{i}\right)=\sum P(A_{i}).$

Zobacz też

• zdarzenia losowe niezależne

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 8–9. ISBN 978-83-01-14291-9.