Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja

Niech $(\Omega,\mathcal{F}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Dowolny element σ-ciała $\mathcal{F}$ nazwiemy zdarzeniem losowym, natomiast samo σ-ciało $\mathcal{F}$ bywa nazywane zbiorem zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Przykład

Eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry. Za zbiór $\Omega$ przyjmijmy zbiór możliwych wyników, tzn. $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. σ-ciała podzbiorów $\Omega$ nie są z góry określone. Możemy zdecydować się na przykład na następujące σ-ciała zdarzeń losowych:

• $\mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega\}$ - takie σ-ciało nazywamy zdegenerowanym. Można je skonstruować dla dowolnego zbioru zdarzeń elementarnych. W tej przestrzeni dysponujemy zatem tylko zdarzeniem niemożliwym $\emptyset$ oraz zdarzeniem pewnym $\Omega$.

• $\mathcal{F}_2=\left\{\emptyset,\Omega,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\}$ - tutaj zdarzeniami losowymi oprócz niemożliwego i pewnego będą także zbiory $\{1\}$ oraz $\{2,3,4,5,6\}$.

• $\mathcal{F}_3=2^\Omega$ - rodzina wszystkich podzbiorów $\Omega$. Dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym.

Z formalnego punktu widzenia wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Jednak tylko ten ostatni wybór stanowić będzie poprawny model "rzeczywistości", tzn. naszego eksperymentu rzucania kostką.

Terminologia

Zwróćmy też uwagę na terminologię opisu zdarzeń losowych. Pojedynczy wynik eksperymentu jest określany jako zdarzenie elementarne, np. 1, 4 itp. Zdarzenie losowe to zbiór, np. {3}, {1,4,5}. Podzbiory danego zdarzenia losowego są nazywane zdarzeniami sprzyjającymi danemu zdarzeniu. Zdarzenia losowe {1} i {4} (a także np. {4,5}) sprzyjają zdarzeniu {1,4,5}.

Niektóre typy zdarzeń losowych

• Zdarzenia losowe rozłączne
• zdarzenia losowe niezależne
• zdarzenie losowe przeciwne
• zdarzenie losowe niemożliwe
• zdarzenie losowe pewne