Zespół kanoniczny

Zespół kanoniczny jest to zespół stanów pewnego układu kontaktującego się termicznie ze zbiornikiem o ustalonej temperaturze. Prawdopodobieństwo, że układ ten znajdzie się w określonym stanie o energii E_i jest dane rozkładem kanonicznym

$P(E_{i})=\frac{\exp \left( -\frac{E_{i}}{kT} \right)}{Z}$

gdzie

k – stała Boltzmanna,

T – temperatura zbiornika,

Z – suma statystyczna.

Wzór na sumę statystyczną wynika z warunku unormowania rozkładu po całym zespole kanonicznym do jedności

$Z=\sum\limits_{i=1}^{N}{\exp \left( -\frac{E_{i}}{kT} \right)}$

gdzie:

N – liczba możliwych stanów układu.

Średnią wartość pewnego parametru θ tego układu można wyznaczyć ze wzoru

$\left\langle \theta \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{N}{\theta _{i}P\left( E_{i} \right)}$

czyli

$\left\langle \theta \right\rangle =\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{\theta _{i}\exp \left( -\frac{E_{i}}{kT} \right)}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{\exp \left( -\frac{E_{i}}{kT} \right)}}$

Związek z termodynamiką

Kanoniczna suma statystyczna jest powiązana z energią swobodną Helmholtza zależnością

$F = - k T \ln ( Z ) \frac{}{}$

Dla układu kanonicznego energia swobodna nigdy nie rośnie.

Energia w układzie kanonicznym

$\langle E \rangle = - \frac{\partial }{\partial \beta } \ln ( Z )$

gdzie:

• $\beta = \frac{1}{ k T }$
• $k$ - stała Boltzmana
• $T$ - temperatura

Natomiast dyspersja względna $\frac{ \sigma_E }{\langle E\rangle} \simeq \frac {1} {\sqrt{N} }$ więc przy liczbach cząstek rzędu liczby Avogadry (~10²³), średnia energia jest stała, dlatego też można ją utożsamiać z energią wewnętrzną $U$.

Bibliografia

1. F Reif, Fizyka statystyczna, PWN Warszawa 1973, bez ISDN
2. Kerson Huang, Mechanika statystyczna, PWN Warszawa 1978, bez ISDN
3. Kacper Zalewski, Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i statystycznej, PWN Warszawa 1969, bez ISDN

Zobacz też

• układ mikrokanoniczny, układ wielki kanoniczny
• termodynamika statystyczna