Zmienne Mandelstama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zmienne Mandelstamawielkości fizyczne używane w teoretycznym opisie zderzeń cząstek elementarnych. Niosą informację o względnych pędach cząstek przed i po zderzeniu, są przy tym relatywistycznie niezmiennicze, czyli ich wartości nie zależą od układu odniesienia w którym zderzenie jest obserwowane. Pierwszy raz zostały użyte do opisu zderzeń przez Stanleya Mandelstama w roku 1958[1] w pracy poświęconej teorii rozpraszania pionów na nukleonach.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Przyjmijmy, że zderzają się dwie cząstki o czteropędach p1 i p2 i masach spoczynkowych odpowiednio m1 i m2. Po zderzeniu mamy dwie cząstki o czteropędach p3 i p4 oraz masach m3 i m4. Zmienne Mandelstama zdefiniowane są w tych oznaczeniach następująco:

s = (p_1+p_2)^2 = (p_3+p_4)^2\,
t = (p_1-p_3)^2 = (p_2-p_4)^2\,
u = (p_1-p_4)^2 = (p_2-p_3)^2\,

Relatywistyczna niezmienniczość tych wielkości wynika bezpośrednio z faktu, że są one kwadratami długości czterowektorów.

Zmienna s jest równa kwadratowi masy niezmienniczej układu (w układzie jednostek, w którym c=1). Zmienna t jest kwadratem przekazu czteropędu w zderzeniu.

Zmienne Mandelstama nie są niezależne, związek pomiędzy nimi dany jest wzorem:

s+t+u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2\,.

Uwaga: niektórzy autorzy definiują zmienne t i u z odwrotnymi znakami. Definicja podana powyżej jest zgodna z konwencją propagowaną przez Particle Data Group i stosowaną przez większość fizyków.

Jednoznaczność definicji[edytuj | edytuj kod]

Jak widać z powyższej definicji, zmiana numeracji uczestniczących w zderzeniu cząstek może prowadzić do zamiany rolami zmiennych t i u. Aby uniknąc niejednoznaczności przyjmuje się konwencyjnie, że przez 3 oznaczamy cząstkę identyczną z 1, lub, jeżeli obie cząstki w wyniku zderzenia zmieniają się na inne – cząstkę bardziej podobną do 1. Na przykład w rozpraszaniu Comptona

\gamma e^-\rightarrow\gamma e^-

za cząstkę 1 uważamy foton przed zderzeniem, zaś za cząstkę 3 foton rozproszony. Natomiast w reakcji:

\pi^-p\rightarrow\pi^0n

jeżeli za cząstkę 1 uznamy \pi^-\,, to za cząstkę 3 należy uznać neutralny pion. Tym samym zmienna t będzie w tym wypadku kwadratem różnicy czteropędów pionów przed i po reakcji.

Wzory przybliżone[edytuj | edytuj kod]

Wzór na s można przekształcić do postaci:

s=(p_1+p_2)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1\cdot p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2p_1\cdot p_2\,.

Jeżeli energie zderzających się cząstek, mierzone w ukladzie środka masy, są znacznie większe od ich mas spoczynkowych, wówczas można w powyższym wzorze zaniedbać kwadraty mas, otrzymując wyrażenie przybliżone:

s\approx 2p_1\cdot p_2 \approx 2p_3\cdot p_4

i analogicznie dla pozostałych zmiennych

t\approx -2p_1\cdot p_3 \approx -2p_2\cdot p_4
u\approx -2p_1\cdot p_4 \approx -2p_2\cdot p_3

Klasyfikacja diagramamów Feynmana[edytuj | edytuj kod]

Zderzenie dwuciałowe (czyli takie, w którym tak w stanie początkowym, jak i końcowym, mamy dwie cząstki) można w najniższym rzędzie rachunku zaburzeń opisać przedstawionymi poniżej diagramami Feynmana.

Feynman-s-channel.svg Feynman-t-channel.svg Feynman-u-channel.svg
kanał s kanał t kanał u

Zmienne Mandelstama stały się źródłem nazw nadanych poszczególnym diagramom. I tak, w zderzeniu przebiegającym według schematu opisywanego przez pierwszy z diagramów cząstki 1 i 2 łączą się, tworząc wirtualną cząstkę o masie \sqrt{s}, która rozpada się następnie na końcowe produkty zderzenia. Ten schemat nazywany jest kanałem s reakcji.

Reakcja w kanale t przebiega w taki sposób, że pomiędzy zderzającymi się cząstkami wymieniana jest cząstka wirtualna. W wyniku oddziaływania z nią cząstka 1 zamienia się w 3, zaś 2 w 4. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wirtualnej wynosi w tej sytuacji t.

Kanał u jest podobny do kanału t, z tym, że w wyniku emisji lub pochłonięcia cząstki wirtualnej, cząstka 1 zmienia się w 4, zaś 2 w 3. Kwadrat czteropędu wymienianej cząstki wynosi wtedy u.

Przypisy

  1. Stanley Mandelstam. Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. General Theory. „Phys. Rev.”. 112 (1958). s. 1344–1360. doi:10.1103/PhysRev.112.1344 (ang.).  Tekst pracy. Mandelstam w tej pracy stosował zmienne s i t, uzupełniająca zestaw zmienna u została wprowadzona później.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Donald H. Perkins: Wstęp do fizyki wysokich energii. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14246-4.
  2. Particle Data Group: C. Amsler et al.. Review of Particle Physics. „Physics Letters”. B667 (2008). s. 1 (ang.). [dostęp 2008-11-04].