Zmienne zależna i niezależna

Zmienne zależna i niezależne – w matematyce i statystyce sposób odróżniania dwóch rodzajów wielkości:

• te, które są dostępne od początku procesu i przez niego ukonstytuowane nazywane są zmiennymi niezależnymi;
• te, które pojawiają się później i są w ten sposób zależne od poprzednich nazywa się zmiennymi zależnymi.

W matematyce zmienne zależne rozumie się zwykle jako funkcje zmiennych niezależnych.

Przykład 1

Rozważmy taką sytuację z punktu widzenia mechaniki klasycznej:

Jeżeli kamień zostanie rzucony pionowo w górę, to wraz z upływem czasu (oznaczonym przez zmienną $t$) będzie się zmieniała jego odległość od ziemi (oznaczona przez zmienną $h$). Zatem zmienna $h$ wyraźnie zależy od zmiennej $t$, gdyż odległość kamienia od ziemi zależy od momentu, w którym ją zmierzymy. Natomiast nie zachodzi relacja odwrotna, tzn. niezależnie od odległości kamienia od ziemi, czas płynie zawsze tak samo, czyli zmienna $t$ nie zależy od zmiennej $h$. Zatem $t$ jest zmienną niezależną natomiast $h$ jest zmienną zależną (od zmiennej $t$).

Można znaleźć dokładniejszy związek pomiędzy czasem i odległością kamienia od ziemi i zapisać w postaci wzoru matematycznego przyjmując pewne założenia upraszczające (takie jak między innymi brak oporu powietrza) dostając takie równanie:

$h(t)=v_{0}t-gt^{2}/2,$

gdzie $v_{0}$ to prędkość pionowa z jaką kamień został wyrzucony z powierzchni ziemi, natomiast $g$ to przyspieszenie ziemskie. W ten sposób przyjmując pewne założenia upraszczające rzeczywistość (prosty model fizyczny) znaleźliśmy użyteczny w pewnych sytuacjach (z praktycznego punktu widzenia) związek zmiennej niezależnej $t$ i zależnej $h$.

Przykład 2

Dane równanie $s=vt$ w interpretacji fizycznej ruchu zawiera w sobie dwie zmienne zależne: $s=s(t)$ oraz $v=v(t).$ Oznacza to, że przebyta droga $s$ oraz prędkość $v$ są zależne od czasu i można, a nawet należy te wielkości rozpatrywać jako pewne funkcje czasu. Ostatecznie pełna forma przybierze postać

$s(t)=v(t)\cdot t.$

Podobnie w równaniach różniczkowych rozpatrywać można przyrosty (różniczki) względem parametrów. W zapisie równań różniczkowych ze zmiennymi zależnymi i niezależnymi

${\frac {ds(t)}{dt}}={\frac {dv(t)}{dt}}\cdot t+v(t)\cdot 1={\frac {dv(t)}{dt}}t+v(t),$

lub w notacji kropkowej – kropka nad znakiem oznacza różniczkę danego wyrażenia względem zmiennej niezależnej

${\dot {s}}={\dot {v}}t+v.$

Zobacz też

• równanie różniczkowe
• zmienna