Znak liczby

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:

  • dodatni (liczba większa od 0)
  • zero
  • ujemny (liczba mniejsza od 0)

Liczbę rzeczywistą o dodatnim znaku nazywa się liczbą dodatnią, o ujemnym znaku liczbą ujemną. Liczbę rzeczywistą nie będącą ujemną (większą lub równą 0) nazywa się nieujemną, a liczbę nie będącą dodatnią (mniejszą lub równą 0) nazywa się niedodatnią.

Znak liczby zaznacza się przed daną liczbą jako + albo −, np. −124,5.
Znak + często jest pomijany w zapisie.

Ciało uporządkowane[edytuj | edytuj kod]

Fakt, że liczby rzeczywiste mają określony znak, wynika z tego, że ({\mathbb R},+,\cdot,0,1,\leqslant) jest ciałem uporządkowanym, tzn. ({\mathbb R},+,\cdot,0,1) jest ciałem a \leqslant jest porządkiem liniowym zgodnym z operacjami algebraicznymi w tym sensie że

  • jeśli a\leqslant b to a+c\leqslant b+c,
  • jeśli 0\leqslant a i 0\leqslant b to 0\leqslant a\cdot b.

Należy zwrócić uwagę, że z pierwszej własności powyżej wynika, iż aby zdefiniować porządek ciała uporządkowanego wystarczy wskazać, które elementy tego ciała są dodatnie, czyli większe od 0 (elementu neutralnego dodawania w ciele).

Przez analogię do terminologii stosowanej w liczbach rzeczywistych, dla dowolnego ciała uporządkowanego (K,+,\cdot,0,1,\leqslant) elementy a\in K które są większe od 0 nazywamy elementami dodatnimi.

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Można zapytać, dlaczego nie określamy znaku liczby zespolonej o niezerowej części urojonej (na przykład liczby 5+4i). Powodem tego jest fakt, iż nie istnieje żaden porządek liniowy \leqslant^* w {\mathbb C} który zgadzałby się ze strukturą algebraiczną ciała liczb zespolonych. Istotnie, w ciele uporządkowanym kwadrat każdego elementu jest nieujemny, więc też 0<1=1^2 oraz -1<0. Teraz zauważmy, że i^2=-1 (gdzie i jest jednostką urojoną).

Funkcja signum jest jednak określona dla każdej liczby zespolonej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]