Dywan Sierpińskiego

Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3×3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Nazwa pochodzi od nazwiska Wacława Sierpińskiego.

Definicja formalna

Niech $D_{0}$ będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej $\mathbb {R} ^{2},$ czyli $D_{0}=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}|x,y\in \left[0,1\right]\right\}.$ Dla danego $n\in \mathbb {N} ,$ mając zbiór $D_{n},$ będący sumą $8^{n}$ kwadratów o bokach długości ${\frac {1}{3^{n}}}$ i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór $D_{n+1},$ będący sumą $8^{n+1}$ kwadratów o bokach długości ${\frac {1}{3^{n+1}}}$ i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór $D_{n}$ dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości ${\frac {1}{3^{n+1}}}$ i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru $D_{n}$ wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów $D_{n}{:}$

$D=\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }D_{n}.$

Alternatywna definicja

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},\ 0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1,$ takich że w rozwinięciu liczb $x$ i $y$ w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu Sierpińskiego

• Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...
• Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe

Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym ${\tfrac {8}{9}}$ jego pola. Niech $S_{n}$ oznacza pole zbioru $D_{n}.$ Mamy zatem:

$S_{n+1}={\frac {8}{9}}S_{n},n=0,1,2,\dots ;S_{0}=1,$

skąd:

$S_{n}=\left({\frac {8}{9}}\right)^{n},n=0,1,2,\dots .$

Zatem dla $n$ dostatecznie dużych $S_{n}$ jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.

• Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Zobacz też

• fraktal
• kostka Mengera
• krzywa
• trójkąt Sierpińskiego
• zbiór Cantora

Bibliografia

• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii, Część I, Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, s. 247–248. ISBN 83-01-05714-9.
• Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Geometria i topologia, Część II, Topologia. Warszawa: PWN, 1980, s. 131–132. ISBN 83-01-01371-0.