![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png) |
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: residuum w sedymentologii (geologii). |
Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji
w punkcie
– pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji
holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt
Innymi słowy, jeśli
jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym
to jej residuum w punkcie
nazywa się współczynnik
w jej rozwinięciu
w szereg Laurenta w punkcie
Równoważna definicja: residuum w punkcie
funkcji
holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu
nazywamy wartość[1]:
![{\displaystyle \mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }f(z)\ \operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78af9f6ab01343678a1fda1b0e0c78981189720c)
gdzie
jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt
Zachodzi też wzór
![{\displaystyle \mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(f(z)(z-z_{0})^{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab22558d12174d7cd57a5f160ef1b73f8417f9e)
gdzie
to rząd bieguna w punkcie
Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.
Rozważmy przykład całki po konturze:
![{\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f97fe97471a7778dfe4d47711615c1f3c4903d1)
gdzie
jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.
Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla
jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:
![{\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {1}{z^{5}}}\left(1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\ldots \right)\ \operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0334d634e914141090092f7a35e1749e3a4458)
Dołączmy składnik
do szeregu, otrzymamy:
![{\displaystyle \oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {z}{z^{5}}}+{\frac {z^{2}}{2!z^{5}}}+{\frac {z^{3}}{3!z^{5}}}+{\frac {z^{4}}{4!z^{5}}}+{\frac {z^{5}}{5!z^{5}}}+{\frac {z^{6}}{6!z^{5}}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9456a253c5978f5f1a782218e08f0968cc21f184)
![{\displaystyle \oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {1}{z^{4}}}+{\frac {1}{2!z^{3}}}+{\frac {1}{3!z^{2}}}+{\frac {1}{4!z}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {z}{6!}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4126c59f37dc4a2962d3bda02f5ec037ff1627c6)
Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:
gdy ![{\displaystyle a\in \mathbb {Z} \setminus \{1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b761122c2b77fe80856c944b6d5fc5e995a82b)
Teraz całka wokół
dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od
staje się 0, i całość redukuje się do:
![{\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11672fb552c2b41f056a1f4765ca32d40a03f9a7)
I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego otrzymujemy równość:
![{\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z={\frac {1}{4!}}(2\pi i).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc457428236e8ff3a884c45e1fd1436e11f52d5a)
Wartość
jest znana jako residuum z
w
a jego notacja to
![{\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} (f,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc899c554166d9da7582ff60c5164d5a3caaf1e8)