Łączność (matematyka)

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

Znaczenie algebraiczne

Działanie $\diamondsuit$ w zbiorze $S$ jest łączne, jeżeli $\forall_{a, b, c \in S} \; a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c) = (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$.

Łączność działania oznacza, że kolejność wykonywania obliczeń nie ma wpływu na wynik, a rezygnacja z nawiasów nie zmienia znaczenia napisu. Z definicji: działanie nie jest łączne, jeśli $\exist_{a, b, c \in S} \; a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c) \ne (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$.

Przykłady

• dodawanie, mnożenie,
• złożenie funkcji,
• suma zbiorów, przecięcie zbiorów.

Znaczenie składniowe

W tym znaczeniu istnieje lewostronna lub prawostronna łączność i oznacza przyjętą przez konwencję kolejność wykonywania działań, jeśli nie jest ona jawnie określona przez nawiasy.

Jeśli działanie ma łączność lewostronną, wykonywane jest od strony lewej do prawej:

$a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = (a \;\diamondsuit\; b) \;\diamondsuit\; c$

W przypadku łączności prawostronnej działanie wykonuje się od strony prawej do lewej:

$a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c = a \;\diamondsuit\; (b \;\diamondsuit\; c)$.

Należy zauważyć, że lewostronna lub prawostronna łączność jest własnością notacji, a nie samego działania i ma sens jedynie w wypadku działań, które nie są łączne w znaczeniu algebraicznym.

Przykłady działań lewostronnie łącznych

• odejmowanie, np. $5 - 3 - 2 = (5 - 3) - 2 = 0$,
• dzielenie, np. $12 : 4 : 3 = (12 : 4) : 3 = 1$.

Przykłady działań prawostronnie łącznych

• potęgowanie, np. $2^{3^4}=2^{(3^4)}=2^{81}=2417851639229258349412352$.

Zobacz też

• alternatywność
• przemienność
• rozdzielność