Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych , np. niektórych działań arytmetycznych . Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
Znaczenie algebraiczne [ edytuj ] Działanie dwuargumentowe
♢
{\displaystyle \diamondsuit }
S
{\displaystyle S}
∀
a
,
b
,
c
∈
S
a
♢
(
b
♢
c
)
=
(
a
♢
b
)
♢
c
{\displaystyle \forall _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c}
Łączność działania oznacza, że kolejność wykonywania obliczeń tzn. rozstawienie nawiasów (zgodne ze składnią) nie ma wpływu na wynik. Np.:
∀
a
,
b
,
c
,
d
∈
S
(
(
a
♢
b
)
♢
c
)
♢
d
=
(
a
♢
b
)
♢
(
c
♢
d
)
=
a
♢
(
b
♢
(
c
♢
d
)
)
=
a
♢
(
(
b
♢
c
)
♢
d
)
{\displaystyle \forall _{a,b,c,d\in S}\;((a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d=\;(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d)=\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d))=\;a\;\diamondsuit \;((b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d)}
W efekcie umożliwia to notację beznawiasową, np.:
a
♢
b
♢
c
♢
d
{\displaystyle \;a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c\;\diamondsuit \;d}
Z definicji wynika, że działanie nie jest łączne, jeśli
∃
a
,
b
,
c
∈
S
a
♢
(
b
♢
c
)
≠
(
a
♢
b
)
♢
c
{\displaystyle \exists _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)\neq (a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c}
Znaczenie składniowe [ edytuj ] W tym znaczeniu istnieje lewostronna lub prawostronna łączność i oznacza przyjętą przez konwencję kolejność wykonywania działań, jeśli nie jest ona jawnie określona przez nawiasy.
Jeśli działanie ma łączność lewostronną , wykonywane jest od strony lewej do prawej:
a
♢
b
♢
c
=
(
a
♢
b
)
♢
c
{\displaystyle a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c}
W przypadku łączności prawostronnej działanie wykonuje się od strony prawej do lewej:
a
♢
b
♢
c
=
a
♢
(
b
♢
c
)
{\displaystyle a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)}
Należy zauważyć, że lewostronna lub prawostronna łączność jest własnością notacji, a nie samego działania i ma sens jedynie w wypadku działań, które nie są łączne w znaczeniu algebraicznym.
Przykłady działań lewostronnie łącznych [ edytuj ]
odejmowanie , np.
5
−
3
−
2
=
(
5
−
3
)
−
2
=
0
{\displaystyle 5-3-2=(5-3)-2=0}
dzielenie , np.
12
:
4
:
3
=
(
12
:
4
)
:
3
=
1
{\displaystyle 12:4:3=(12:4):3=1}
Przykłady działań prawostronnie łącznych [ edytuj ]
potęgowanie , np.
2
3
4
=
2
(
3
4
)
=
2
81
=
2417851639229258349412352
{\displaystyle 2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}=2417851639229258349412352}
