Łączność (matematyka)

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

Znaczenie algebraiczne

Działanie $\diamondsuit$$\diamondsuit$ w zbiorze $S$$S$ jest łączne, jeżeli $\forall _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$$\forall _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$.

Łączność działania oznacza, że kolejność wykonywania obliczeń nie ma wpływu na wynik, a rezygnacja z nawiasów nie zmienia znaczenia napisu. Z definicji: działanie nie jest łączne, jeśli $\exists _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)\neq (a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$$\exists _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)\neq (a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$.

Przykłady

• dodawanie, mnożenie,
• złożenie funkcji,
• suma zbiorów, przecięcie zbiorów.

Znaczenie składniowe

W tym znaczeniu istnieje lewostronna lub prawostronna łączność i oznacza przyjętą przez konwencję kolejność wykonywania działań, jeśli nie jest ona jawnie określona przez nawiasy.

Jeśli działanie ma łączność lewostronną, wykonywane jest od strony lewej do prawej:

$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c$

W przypadku łączności prawostronnej działanie wykonuje się od strony prawej do lewej:

$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)$$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)$.

Należy zauważyć, że lewostronna lub prawostronna łączność jest własnością notacji, a nie samego działania i ma sens jedynie w wypadku działań, które nie są łączne w znaczeniu algebraicznym.

Przykłady działań lewostronnie łącznych

• odejmowanie, np. $5-3-2=(5-3)-2=0$$5-3-2=(5-3)-2=0$,
• dzielenie, np. $12:4:3=(12:4):3=1$$12:4:3=(12:4):3=1$.

Przykłady działań prawostronnie łącznych

• potęgowanie, np. $2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}=2417851639229258349412352$$2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}=2417851639229258349412352$.

Zobacz też

• alternatywność
• przemienność
• rozdzielność