Łączność (matematyka)

Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, np. niektórych działań arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

Znaczenie algebraiczne

Działanie dwuargumentowe $\diamondsuit$ w zbiorze $S$ jest łączne, jeżeli

$\forall _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c.$

Łączność działania oznacza, że kolejność wykonywania obliczeń, tzn. rozstawienie nawiasów (zgodne ze składnią) nie ma wpływu na wynik, np.:

$\forall _{a,b,c,d\in S}\;((a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d=\;(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d)=\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;(c\;\diamondsuit \;d))=\;a\;\diamondsuit \;((b\;\diamondsuit \;c)\;\diamondsuit \;d).$

W efekcie umożliwia to notację beznawiasową, np.: $a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c\;\diamondsuit \;d.$

Z definicji wynika, że działanie nie jest łączne, jeśli $\exists _{a,b,c\in S}\;a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c)\neq (a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c.$

Przykłady

• dodawanie, mnożenie,
• suma zbiorów, przecięcie zbiorów.
• złożenie funkcji,

Znaczenie składniowe

W tym znaczeniu istnieje lewostronna lub prawostronna łączność i oznacza przyjętą przez konwencję kolejność wykonywania działań, jeśli nie jest ona jawnie określona przez nawiasy.

Jeśli działanie ma łączność lewostronną, wykonywane jest od strony lewej do prawej:

$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=(a\;\diamondsuit \;b)\;\diamondsuit \;c.$

W przypadku łączności prawostronnej działanie wykonuje się od strony prawej do lewej:

$a\;\diamondsuit \;b\;\diamondsuit \;c=a\;\diamondsuit \;(b\;\diamondsuit \;c).$

Należy zauważyć, że lewostronna lub prawostronna łączność jest własnością notacji, a nie samego działania i ma sens jedynie w wypadku działań, które nie są łączne w znaczeniu algebraicznym.

Przykłady działań lewostronnie łącznych

• odejmowanie, np. $5-3-2=(5-3)-2=0,$
• dzielenie, np. $12:4:3=(12:4):3=1.$

Przykłady działań prawostronnie łącznych

• potęgowanie, np. $2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}=2417851639229258349412352.$

Zobacz też

• alternatywność
• przemienność
• rozdzielność