Ślimak Teodorosa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ślimak Teodorosa.

Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnej[1]. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk-amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 roku[2].

Opis konstrukcji[edytuj]

  1. Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość .
  2. Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość .
  3. Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.

Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie[1], jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54 kroku itd.

Najprostsze własności[edytuj]

n-ty trójkąt konstrukcji

Niech oznacza kąt ostry n-tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:

Stąd oczywiście:

.

Suma

wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej n-tego trójkąta o długości względem przyprostokątnej o długości 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.

W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się tzn.

dla   [3].

Historia[edytuj]

Rozszerzony ślimak Teodorosa.

Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości h prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku √h (h∈R+), podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości √n (n∈N) wymaga n-krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.

Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona Teajtet[4] będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach.

Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu

Quote-alpha.png
...i tak po jednym każdy kwadrat brał pod uwagę aż do siedemnastostopowego; na tym się jakoś zatrzymał.
Platon Parmenides. Teajtet, przeł. Władysław Witwicki. Kęty: Wydawnictwo ANTYK, 2002, s. 99.

wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17 [2].

Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.


Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa[edytuj]

Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą Teodorosa[5]. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjne[6]:

,

gdzie jest jednostką urojoną, oznacza moduł liczby zespolonej .

Wzór

łatwo można wykazać indukcyjnie, bo oraz

,

w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne .

Korzystając z powyższej własności Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej[6]

.

Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał Davis[7], wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:

,

wykazał jego zbieżność dla i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.

Stałą Teodorosa nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie (0, 0)[8] [a]:

,

gdzie jest funkcją dzeta Riemanna.

Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50 miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi[9][10].

Uwagi

  1. Stałą Teodorosa bywa także nazywana wartość .

Przypisy[edytuj]

  1. a b Mateusz Majka: Ślimak Teodorosa (pol.). zobaczycmatematyke.krk.pl. [dostęp 2017-07-13].
  2. a b Davis 1993 ↓, s. 7–8.
  3. Erich Teuffel. Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke. „Math.-Phys. Semesterber.”. 6, s. 148–152, 1958. 
  4. J. J. O’Connor i E. F. Robertson: Theodorus of Cyrene (ang.). MacTutor History of Mathematics. [dostęp 2017-07-24].
  5. Eric Weisstein: Theodorus Spiral (ang.). MathWorld. [dostęp 2017-07-24].
  6. a b Davis 1993 ↓, s. 33–34.
  7. Davis 1993 ↓, s. 38.
  8. Eric Weisstein: Theodorus’s Constant (ang.). MathWorld. [dostęp 2017-07-27].
  9. Davis 1993 ↓, s. 67–87.
  10. Walter Gautschi: The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions. Purdue University, Department of Computer Science. [dostęp 2017-07-27].

Bibliografia[edytuj]

  • Philip J. Davis: Spirals. From Theodorus to Chaos. Wellesley: A. K. Peters, 1993. ISBN 1568810105.

Linki zewnętrzne[edytuj]