Ślimak Teodorosa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ślimak Teodorosa

Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnej[1]. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk-amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 roku[2].

Opis konstrukcji[edytuj | edytuj kod]

  1. Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość
  2. Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość
  3. Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.

Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie[1], jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.

Najprostsze własności[edytuj | edytuj kod]

-ty trójkąt konstrukcji

Niech oznacza kąt ostry -tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:

Stąd oczywiście:

Suma

wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej -tego trójkąta o długości względem przyprostokątnej o długości 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.

W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn.

dla [3].

Historia[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzony ślimak Teodorosa.

Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości wymaga -krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.

Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona Teajtet[4] będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach.

Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu

...i tak po jednym każdy kwadrat brał pod uwagę aż do siedemnastostopowego; na tym się jakoś zatrzymał.
Platon Parmenides. Teajtet, przeł. Władysław Witwicki. Kęty: Wydawnictwo Antyk, 2002, s. 99.

wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17[2].

Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.

Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa[edytuj | edytuj kod]

Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą Teodorosa[5]. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjne[6]:

gdzie jest jednostką urojoną, oznacza moduł liczby zespolonej

Wzór

łatwo można wykazać indukcyjnie, bo oraz

w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne

Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej[6]

Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał Davis[7], wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:

wykazał jego zbieżność dla i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.

Stałą Teodorosa nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie [a][8]:

gdzie jest funkcją dzeta Riemanna.

Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi[9][10].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Stałą Teodorosa bywa także nazywana wartość

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Mateusz Majka: Ślimak Teodorosa (pol.). zobaczycmatematyke.krk.pl. [dostęp 2017-07-13].
  2. a b Davis 1993 ↓, s. 7–8.
  3. Erich Teuffel. Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke. „Math.-Phys. Semesterber.”. 6, s. 148–152, 1958. 
  4. J.J. O’Connor, E.F. Robertson: Theodorus of Cyrene (ang.). MacTutor History of Mathematics. [dostęp 2017-07-24].
  5. Eric W. Weisstein, Theodorus Spiral, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-07-24] (ang.).
  6. a b Davis 1993 ↓, s. 33–34.
  7. Davis 1993 ↓, s. 38.
  8. Eric W. Weisstein, Theodorus’s Constant, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-07-27] (ang.).
  9. Davis 1993 ↓, s. 67–87.
  10. Walter Gautschi: The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions. Purdue University, Department of Computer Science. [dostęp 2017-07-27].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Philip J. Davis: Spirals. From Theodorus to Chaos. Wellesley: A. K. Peters, 1993. ISBN 1-56881-010-5.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]