Średnia logarytmiczna różnica temperatur

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Średnia logarytmiczna różnica temperatur (ang. akr. LMTD) jest wielkością używaną do określania siły napędowej wymiany ciepła w urządzeniach przepływowych, w szczególności w wymiennikach ciepła. LMTD jest średnią logarytmiczną różnic temperatur gorącego i zimnego strumienia na wlocie i wylocie wymiennika. Im wyższa wartość LMTD, tym intensywniejsza wymiana ciepła między strumieniami.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Zakładając, że typowy wymiennik ciepła ma po dwa króćce po obydwu stronach swojej obudowy (po stonie A i po stronie B), którymi strumienie (gorący i zimny) wchodzą lub wychodzą z wymiennika, LMTD definiowana jako logarytmiczna średnia zgodnie z poniższym:

LMTD=\frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln \left( \frac{\Delta T_A}{\Delta T_B} \right ) }

gdzie:

ΔTA - różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie A
ΔTB - różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie B

Za pomocą tej definicji, LMTD może być wykorzystana do obliczenia strumienia ciepła przekazywanego w wymienniku:

 Q = U \times Ar \times LMTD

gdzie:

Q - strumień ciepła (w watach)
U - współczynnikiem przenikania ciepła
Ar - powierzchnia wymiany ciepła.

Powyższe zależności słuszne są zarówno dla przepływu współbieżnego w którym strumienie wchodzą z tej samej strony do wymiennika, jak i dla przepływu przeciwbieżnego w którym strumienie wchodzą do wymiennika z naprzeciwległych stron jego obudowy.

W przypadku przepływu krzyżowego powyższa zależność między strumieniem ciepła a LMTD jest słuszna po uwzględnieniu współczynnika korekcyjnego. Uwzględnienie współczynnika korekcyjnego niezbędne jest również w przypadku bardziej skomplikowanych geometrii, jak np. przy wymienniku płaszczowo-rurowym z przegrodami.

Wyprowadzenie wzoru[edytuj | edytuj kod]

Zakładając, że transport ciepła odbywa się w wymienniku wzdłuż osi z, od współrzędnej A do B, pomiędzy dwoma płynami oznaczonymi odpowiednio 1 i 2, których temperatury wzdłuż osi z wynaoszą T1(z) i T2(z).

Ciepło wymienione lokalnie w z jest proporcjonalne do różnicy temperatur:

 q(z) = U (T_2(z)-T_1(z))/D =  U (\Delta\;T(z))/D,

gdzie D jest długością krawędzi (w przekroju z) na której następuje wymiana ciepła między dwoma płynami

Przepływ ciepła między płynami powodowany jest gradientem temperatury zgodnie z prawem Fouriera:

\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=k_a (T_1(z)-T_2(z))=-k_a\,\Delta T(z)
\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}=k_b (T_2(z)-T_1(z))=k_b\,\Delta T(z)

Sumując powyższe otrzymamy:

\frac{\mathrm{d}\,\Delta T}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,(T_2-T_1)}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}-\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=K\Delta T(z)

gdzie K=ka+kb.

Całkowity strumień wymienianego ciepła wyznaczyć można całkując ciepło wymieniane lokalnie q w przedziale od A do B:

 Q = \int^{B}_{A} q(z) dz = \frac{U}{D} \times \int^{B}_{A} \Delta T(z) dz = \frac{U}{D} \times \int^{B}_{A} \Delta T \,dz

Uwzględniając, że powierzchnia wymiany ciepła wymiennika Ar równa jest długości rury A-B pomnożonej przez długość krawędzi przekroju D:

 Q = \frac{U Ar}{(B-A)} \int^{B}_{A} \Delta T \,dz = \frac{U Ar \int^{B}_{A} \Delta T \,dz}{\int^{B}_{A} \,dz}

Podmieniając w obydwu całkach zmienne z na Δ T otrzymujemy:

 Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \Delta T \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)}

Po podstawieniu wyprowadzonej wcześniej zależności na Δ T otrzymamy:

 Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K \Delta T}\,d(\Delta T)}

Całki w tej postaci da się łatwo rozwiązać otrzymując znany nam wzór z definicji LMTD:

 Q = U \times Ar \times \frac{\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln [ \Delta T(B) / \Delta T(A) ]} ,

Założenia i ograniczenia[edytuj | edytuj kod]

  • Zakłada się, że szybkość (tempo) zmian temperatury obydwu płynów jest proporcjonalne do różnicy ich temperatur. Założenie to jest słuszne dla płynów o stałym cieple właściwym, co z dobrym przybliżeniem ma miejsce w przypadku zmiany temperatury płynów w relatywnie małym zakresie. Jednakże im większe zmiany ciepła właściwego, tym podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się coraz mniej dokładne.
  • Zakłada się również, że współczynnik przenikania ciepła (U) jest stały, nie jest zaś funkcją temperatury. W przeciwnym wypadku podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się mniej dokładne.
  • LMTD jest z założenia koncepcją stanu ustalonego i nie może być używana w analizach dynamicznych. W szczególności, gdyby zastosować LMTD do stanu nieustalonego w którym przez krótki czas różniczki temperatury po dwóch stronach wymiennika ciepła posiadały by przeciwne znaki, argument logarytmu byłby ujemny co jest sprzeczne z definicją funkcji logarytmicznej.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kay J M & Nedderman R M (1985) Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press