Średnia logarytmiczna różnica temperatur

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Średnia logarytmiczna różnica temperatur (ang. akr. LMTD) jest wielkością używaną do określania siły napędowej wymiany ciepła w urządzeniach przepływowych, w szczególności w wymiennikach ciepła. LMTD jest średnią logarytmiczną różnic temperatur gorącego i zimnego strumienia na wlocie i wylocie wymiennika. Im wyższa wartość LMTD, tym intensywniejsza wymiana ciepła między strumieniami.

Definicja[edytuj]

Zakładając, że typowy wymiennik ciepła ma po dwa króćce po obydwu stronach swojej obudowy (po stronie A i po stronie B), którymi strumienie (gorący i zimny) wchodzą lub wychodzą z wymiennika, LMTD definiowana jako logarytmiczna średnia zgodnie z poniższym:

gdzie:

ΔTA - różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie A
ΔTB - różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie B

Za pomocą tej definicji, LMTD może być wykorzystana do obliczenia strumienia ciepła przekazywanego w wymienniku:

gdzie:

Q - strumień ciepła (w watach)
U - współczynnikiem przenikania ciepła
Ar - powierzchnia wymiany ciepła.

Powyższe zależności słuszne są zarówno dla przepływu współbieżnego w którym strumienie wchodzą z tej samej strony do wymiennika, jak i dla przepływu przeciwbieżnego w którym strumienie wchodzą do wymiennika z naprzeciwległych stron jego obudowy.

W przypadku przepływu krzyżowego powyższa zależność między strumieniem ciepła a LMTD jest słuszna po uwzględnieniu współczynnika korekcyjnego. Uwzględnienie współczynnika korekcyjnego niezbędne jest również w przypadku bardziej skomplikowanych geometrii, jak np. przy wymienniku płaszczowo-rurowym z przegrodami.

Wyprowadzenie wzoru[edytuj]

Zakładając, że transport ciepła odbywa się w wymienniku wzdłuż osi z, od współrzędnej A do B, pomiędzy dwoma płynami oznaczonymi odpowiednio 1 i 2, których temperatury wzdłuż osi z wynaoszą T1(z) i T2(z).

Ciepło wymienione lokalnie w z jest proporcjonalne do różnicy temperatur:

gdzie D jest długością krawędzi (w przekroju z) na której następuje wymiana ciepła między dwoma płynami

Przepływ ciepła między płynami powodowany jest gradientem temperatury zgodnie z prawem Fouriera:

Sumując powyższe otrzymamy:

gdzie K=ka+kb.

Całkowity strumień wymienianego ciepła wyznaczyć można całkując ciepło wymieniane lokalnie q w przedziale od A do B:

Uwzględniając, że powierzchnia wymiany ciepła wymiennika Ar równa jest długości rury A-B pomnożonej przez długość krawędzi przekroju D:

Podmieniając w obydwu całkach zmienne z na Δ T otrzymujemy:

Po podstawieniu wyprowadzonej wcześniej zależności na Δ T otrzymamy:

Całki w tej postaci da się łatwo rozwiązać otrzymując znany nam wzór z definicji LMTD:

,

Założenia i ograniczenia[edytuj]

  • Zakłada się, że szybkość (tempo) zmian temperatury obydwu płynów jest proporcjonalne do różnicy ich temperatur. Założenie to jest słuszne dla płynów o stałym cieple właściwym, co z dobrym przybliżeniem ma miejsce w przypadku zmiany temperatury płynów w relatywnie małym zakresie. Jednakże im większe zmiany ciepła właściwego, tym podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się coraz mniej dokładne.
  • Zakłada się również, że współczynnik przenikania ciepła (U) jest stały, nie jest zaś funkcją temperatury. W przeciwnym wypadku podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się mniej dokładne.
  • LMTD jest z założenia koncepcją stanu ustalonego i nie może być używana w analizach dynamicznych. W szczególności, gdyby zastosować LMTD do stanu nieustalonego w którym przez krótki czas różniczki temperatury po dwóch stronach wymiennika ciepła posiadały by przeciwne znaki, argument logarytmu byłby ujemny co jest sprzeczne z definicją funkcji logarytmicznej.

Bibliografia[edytuj]

  • Kay J M & Nedderman R M (1985) Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press