Środek odcinka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Środek odcinkapunkt odcinka równo oddalony od jego końców; w geometrii euklidesowej jest to zarazem jego środek symetrii i miejsce przecięcia obydwu osi symetrii danego odcinka.

Geometria syntetyczna[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności geometrii płaszczyzny (przestrzeni) euklidesowej, kolejne dwie są poprawne również w geometrii afinicznej.

Sposób I (symetralna)

Skonstruować symetralną odcinka. Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.

Center of segment1.svg
Sposób II (twierdzenie Talesa)

Zgodnie z rysunkiem obok:

  • zaznaczyć punkt C nienależący do odcinka AB,
  • oznaczyć różny od A punkt D będący punktem przecięcia prostej AC i okręgu o(C, AC),
  • nakreślić prostą BD i równoległą do niej prostą przechodzącą przez C,
  • oznaczyć punkt przecięcia C' odcinka AB i prostej CC'.

Punkt C' jest szukanym środkiem odcinka AB.

Center of segment2.svg
Sposób III (przecięcie przekątnych równoległoboku)

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

  • nakreślić dwie równoległe proste p, q przechodzące odpowiednio przez punkty A, B,
  • nakreślić dwie inne równoległe proste p', q' przechodzące odpowiednio przez punkty A, B,
  • wyznaczyć różną od AB przekątną powstałego równoległoboku.

Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka AB.

Geometrie metryczne[edytuj | edytuj kod]

W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem metrycznym, dlatego można go definiować nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z symetralną odcinka.

Geometria afiniczna[edytuj | edytuj kod]

Center of segment3.svg

Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie geometrii afinicznej. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną.

W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśle

Twierdzenie

Czworobok ABCD jest równoległobokiem (odcinki AB, CD są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka AD i BC pokrywają się.

Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Środek odcinka jest niezmiennikiem izometrii; w przypadku geometrii euklidesowej prawdziwe jest stwierdzenie ogólniejsze: środek odcinka jest niezmiennikiem podobieństw. W pierwszym przypadku oznacza to, że izometria zachowuje środek odcinka (obrazem środka odcinka jest środek odcinka), w drugim, iż podobieństwa zachowują środek odcinka.

Środek odcinka jest niezmiennikiem dowolnego przekształcenia afinicznego (powinowactwa).

Geometria analityczna[edytuj | edytuj kod]

Midpoint.svg

Ponieważ przestrzeń afiniczna nie musi być przestrzenią metryczną, ani przestrzenią unitarną, to do wprowadzenia pojęcie środka odcinka nie są potrzebne pojęcia odległości (metryki) i kąta prostego (iloczynu skalarnego)). Co więcej nie jest wymagane nawet pojęcie wnętrza odcinka, co jest równoważne brakowi porządku liniowego w ciele nad którym zbudowana jest przestrzeń liniowa stowarzyszona z daną przestrzenią afiniczną. Konieczne jest jednak, aby wspomniane ciało było charakterystyki większej od 2.

Proste w przestrzeni afinicznej dane są jako jednowymiarowe podprzestrzenie afiniczne, czyli kombinacje afiniczne dwóch wektorów o współczynnikach z danego ciała. Wówczas dla dowolnych dwóch punktów a, b środkiem wektora \overrightarrow{ab} (odcinka skierowanego) jest punkt a + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{ab}.

Wynika stąd, że środkiem odcinka o końcach (x_1, y_1) oraz (x_2, y_2) jest punkt o współrzędnych \left(\tfrac{1}{2}(x_1 + x_2), \tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)\right).

Aksjomatyzacja[edytuj | edytuj kod]

W dowolnym niepustym zbiorze G pojęcia środka odcinka można można wprowadzić aksjomatycznie. Operację środka definiuje się wtedy jako działanie dwuargumentowe \oplus\colon G \times G \to G określone na zbiorze G spełniające następujące aksjomaty dla a, b, c, d \in G:

Strukturę (G, \oplus) nazywa się algebrą środka[1].

Własności i uwagi[edytuj | edytuj kod]

Z podanych aksjomatów dla dowolnych a, b, c, x, x^' \in G wynikają następujące własności:

  • samorozdzielność,
    (a \oplus b) \oplus  c = (a \oplus c) \oplus (b \oplus c),
  • środkiem punktu (odcinka zdegenerowanego) jest on sam,
  • a \oplus b = a \Rightarrow a=b,
  • środek odcinka wyznaczony jest jednoznacznie,
  • x \oplus a = x^' \oplus a \Rightarrow x = x^'.

Niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego f (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postać

f(a \oplus b) = f(a) \oplus f(b),

co oznacza, że przekształcenia afiniczne są homomorfizmami przestrzeni afinicznych.

Relacja[edytuj | edytuj kod]

Relacja określona na G \times G wzorem

ab \equiv cd \Leftrightarrow a \oplus d = b \oplus c

jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji względem tej relacji tworzą grupę przemienną, której elementy można traktować jak grupę wektorów swobodnych. Do tego, aby G była przestrzenią afiniczną brakuje tylko mnożenia przez skalar.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Center of segment4.svg

Uogólnienie pojęcia środek odcinka można w pewnym sensie wprowadzić w geometrii rzutowej. Niech s będzie ustaloną prostą płaszczyzny rzutowej do której nie należą dowolnie wybrane dwa punkty A, B. Wówczas s-środek X odcinka AB definiuje się jako czwarty punkt harmoniczny spełniający H(X, Y; A, B), gdzie Y = AB \cap s (zob. czworobok zupełny).

Tak określony s-środek zachowuje niemal wszystkie własności środka afinicznego. W powyższy sposób wprowadza się geometrię afiniczną na podstawie geometrii rzutowej: wystarczy wybraną prostą s uznać za horyzont, czyli prostą niewłaściwą.

Przypisy

  1. Wanda Szmielew: Od geometrii afinicznej do euklidesowej. Warszawa: 1981, seria: BM 55.