σ-pierścień

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

σ-pierścień – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przeliczalne sumy i dopełnienia, tzn.

Własności[edytuj]

Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż

ponieważ

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.

ale nie na przeliczalne, to jest pierścieniem, lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby zbiór uniwersalny był mierzalny, to do zbudowania teorii miary i całki zamiast σ-ciał można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje σ-algebrę: jeżeli jest σ-pierścieniem nad zbiorem to rodzina wszystkich podzbiorów które są elementami bądź których dopełniania są elementami jest σ-algebrą nad zbiorem

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.