1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja Archimedesa dla a = 3/4

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …nieskończony zbieżny szereg geometryczny. Jest on przykładem jednego z pierwszych zsumowanych szeregów nieskończonych w historii matematyki. Dokonał tego Archimedes około 250-200 roku p.n.e.[1]. Jego suma to 13. Uogólniając, dla dowolnego a, szereg utworzony z wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie 14 jest zbieżny do sumy

a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots = \frac43 a

Prezentacja graficzna[edytuj | edytuj kod]

3s = 1

Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … nadaje się do prostej wizualizacji ponieważ kwadrat i trójkąt łatwo podzielić na cztery podobne części, których pole to 14 oryginału.

Na ilustracji po lewej[2][3], jeśli duży kwadrat ma pole 1, to największy czarny kwadrat ma pole (1/2)(1/2)=(1/4). Podobnie, kolejny czarny kwadrat ma pole 1/16, a trzeci to 1/64. Stąd pole wszystkich czarnych kwadratów wynosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …, które jest takie samo jak pole kwadratów szarych i białych. Ponieważ te trzy obszary obejmują cały kwadrat jednostkowy, to ilustracja prezentuje, że

3s = 1 ponownie
3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1

Archimedes zastosował nieco inną formę graficznego dowodu, zaprezentowaną powyżej[4], którą można opisać równaniem

\frac34+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots = 1

Interpretacja Archimedesa jest przedstawiona poniżej.

Taką samą technikę geometryczną można zastosować w trójkątach, co jest pokazane na ilustracji po prawej[2][5][6]. Jeśli duży trójkąt ma pole 1, to największy czarny trójkąt ma pole 1/4 itd. Ilustracja zawiera samopodobieństwo pomiędzy dużym trójkątem a górnym ćwierć-trójkątem. Podobną konstrukcję, w której trzy rogi są do siebie podobne przedstawia trójkąt Sierpińskiego.

Archimedes[edytuj | edytuj kod]

Krzywa jest parabolą. Punkty na cięciwie AE są rozmieszczone w równych odstępach. Archimedes wykazał że suma pól trójkątów ABC i CDE to 1/4 pola trójkąta ACE. Następnie skonstruował kolejną warstwę czterech trójkątów powyżej pozostałych, których suma pól wyniosła 1/4 sumy pól trójkątów ABC i CDE. Pole kolejnej ósemki trójkątów miało pole 1/4 sumy pól poprzednich czterech, itd. Wysunął więc wniosek, że pole pomiędzy cięciwą a krzywą wynosi 4/3 pola trójkąta ACE.

Archimedes uzyskał ten szereg w swojej pracy Kwadratura paraboli. Podczas wyznaczania pola ograniczonego parabolą za pomocą metody wyczerpywania uzyskał szereg trójkątów; na każdym etapie konstrukcji przyrost pola wynosił 1/4 wartości z poprzedniego etapu. Jego oczekiwany wynik całkowitej powierzchni to 4/3 powierzchni uzyskanej w pierwszym etapie. Aby to osiągnąć zdefiniował następujący lemat algebraiczny:

Twierdzenie 23[a]. Mając dany szereg powierzchni A, B, C, …, Z, z których A jest największa i każda z nich jest cztery razy większa niż następna w kolejności to[8]

A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A.

Archimedes udowodnił to twierdzenie wstępnie obliczając

\begin{array}{rcl}
\displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} & = &\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em]
  & = &\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y)
\end{array}

Z drugiej strony

\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y)

Odejmując to równanie od poprzedniego otrzymujemy

B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A

i dodając A do obu stron uzyskujemy oczekiwany wynik[b].

Obecnie, bardziej standardowym wyrażeniem na twierdzenie Archimedesa jest to, że sumy częściowe szeregu 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … wynoszą:

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}

Ta forma może być udowodniona przez pomnożenie obu stron przez 1 − 1/4 i zauważeniu, że wszystkie składniki, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, po lewej stronie równania się parami znoszą. Taka sama technika ma zastosowanie dla skończonych szeregów geometrycznych.

Granica[edytuj | edytuj kod]

W twierdzeniu 24[a] Archimedes stosuje skończoną (ale nieokreśloną) sumę z twierdzenia 23 dla pola wewnątrz paraboli przez podwójny dowód nie wprost. Archimedes nie do końca[c] obliczył granicę powyższej sumy częściowej, lecz stosując współczesne metody rachunkowe, jest to dość prosty krok:

\lim_{n\to\infty} \frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14} = \frac{1}{1-\frac14} = \frac43

Ponieważ suma nieskończonego szeregu jest zdefiniowana przez granicę jego sum częściowych

1+\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots = \frac43

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Tu i dalej numery twierdzeń pochodzą z pracy Kwadratura paraboli zamieszczonej w zbiorze dzieł Archimedesa pod redakcją Thomasa L. Heatha[7]
  2. Wersja skrócona z opracowania Heatha[4]
  3. Współcześni autorzy mają różne zdanie na temat jak dokładnie określić, że Archimedes zsumował szereg nieskończony. Na przykład, Shawyer i Watson twierdzą[1], że zsumował; Swain i Dence, że „Archimedes zastosował pośredni proces ograniczający”[9]; a Stein, że zatrzymał się na skończonych sumach[10].

Źródła[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Shawyer i Watson 1994 ↓, s. 3.
  2. a b Alsina i Nelsen 2006 ↓, s. 74.
  3. Ajose i Nelsen 1994 ↓, s. 230.
  4. a b Heath 1953 ↓, s. 250.
  5. Stein 1999 ↓, s. 46.
  6. Mabry 1999 ↓, s. 63.
  7. Heath 1953 ↓, s. 249, 251.
  8. Heath 1953 ↓, s. 249.
  9. Swain i Dence 1998 ↓, s. 123–130.
  10. Stein 1999 ↓, s. 45.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Źródła starożytne
  • Archimedes, The works of Archimedes, Thomas LittleT. L. Heath (red.), J. L.J. L. Heiberg, Unabridged reissue of the Heath edition of 1897 with supplement of 1912; ed. in modern notation with introductory chapter by T. L. Heath ; with a supplement "The method of Archimedes" recently discovered by Heiberg., New York; Cambridge: Dover Publications; Cambridge University Press, 1953, OCLC 601012279 (ang.).; obrazy stron wydania z 1897 na stronie: Bill Casselman: Archimedes' quadrature of the parabola. [dostęp 2015-12-11].; HTML z ilustracjami i komentarzem na stronie: Daniel E. Otero: Archimedes of Syracuse. 2002. [dostęp 2007-03-22]. [zarchiwizowane z tego adresu].
Źródła współczesne
  • SundayS. Ajose SundayS., RogerR. Nelsen RogerR., Proof without Words: Geometric Series, „Mathematics Magazine”, 67 (3), czerwiec 1994, s. 230, DOI10.2307/2690617 [dostęp 2015-12-10].
  • ClaudiC. Alsina ClaudiC., Roger B.R. B. Nelsen Roger B.R. B., Math made visual creating images for understanding mathematics, Washington, DC: Mathematical Association of America, 2006, ISBN 0-88385-746-4 [dostęp 2015-12-10] (ang.).
  • publikacja w zamkniętym dostępie – wymagana płatna rejestracja RickR. Mabry RickR., Proof without Words: 14 + (14)2 + (14)3 + … = 13, „Mathematics Magazine”, 72 (1), luty 1999, s. 63 [dostęp 2015-12-10].
  • BruceB. Shawyer BruceB., BruceB. Watson BruceB., Borel's methods of summability: theory and applications, Oxford; New York: Clarendon Press; Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853585-6 [dostęp 2015-12-10] (ang.).
  • Sherman K.S. K. Stein Sherman K.S. K., Archimedes: what did he do besides cry eureka?, Washington, DC: Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-718-9 (ang.).
  • GordonG. Swain GordonG., ThomasT. Dence ThomasT., Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited, „Mathematics Magazine”, 71 (2), kwiecień 1998, s. 123–130, DOI10.2307/2691014 [dostęp 2015-12-10].;