1 + 2 + 3 + 4 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Suma wszystkich liczb naturalnych 1 + 2 + 3 + 4 + … jest szeregiem rozbieżnym. N-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną

która rośnie nieograniczenie wraz z n zmierzającym do nieskończoności.

Mimo to, że na pierwszy rzut oka może się wydawać, że cały szereg nie ma żadnej znaczącej wartości, to można nim manipulować i uzyskać wynik, który znajduje zastosowanie w innych dziedzinach takich jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun. Na przykład regularyzacja funkcją dzeta pozwala uzyskać następujący wynik

Ponadto, suma cząstkowa jest zawsze parzystą liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczbą Mersenne’a (n = 2p-1), a p jest liczbą pierwszą.

Sumowalność[edytuj]

W przeciwieństwie do szeregu przemiennego 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest sumowalny metodą Abela. Jego funkcja tworząca

ma biegun dla x = 1.

Szereg ten może być zsumowany za pomocą regularyzacji funkcją dzeta. Jeśli część rzeczywista s jest większa niż 1, funkcja dzeta Riemanna od s równa się sumie

Suma ta jest rozbieżna jeśli część rzeczywista z s jest mniejsza lub równa 1. lecz jeśli s = −1 to przedłużenie analityczne ζ(s) generuje wynik −1/12.

Fizyka[edytuj]

Szereg taki pojawia się w teorii strun bozonowych przy próbie obliczenia możliwych poziomów energetycznych strun, na przykład najniższego możliwego poziomu energetycznego. Stosując nieformalny opis, każda harmoniczna struny może być widoczna jako kolekcja niezależnych kwantowych oscylatorów harmonicznych, gdzie jest wymiarem czasoprzestrzeni. Jeśli podstawowa częstotliwość harmoniczna to to energia drgań ntej harmonicznej wynosi . Sumowanie takiego rozbieżnego szeregu prowadzi do wyniku .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • G.H. Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, 1949. LLC QA295.
  • Barton Zwiebach: A First Course in String Theory. Cambridge UP, 2004, s. 293. ISBN 0-521-83143-1.
  • A. Zee: Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP, 2003, s. 65-66. ISBN 0-691-01019-6. – opis efektu Casimira.