Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z 1 + 2 + 3 + 4 + …)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …rozbieżny szereg, którego składnikami są kolejne liczby naturalne.

N-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną

która rośnie nieograniczenie wraz z n zmierzającym do nieskończoności. Suma cząstkowa Sn jest parzystą liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą Mersenne’a (n = 2p-1), a p jest liczbą pierwszą.

Chociaż szereg jest rozbieżny, istnieją metody pozwalające przypisać mu pewną wartość liczbową, która znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun.

Sumowalność[edytuj]

W przeciwieństwie do szeregu przemiennego 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest sumowalny metodą Abela, bo jego funkcja tworząca

ma biegun dla x = 1.

Szereg ten może być jednak zsumowany za pomocą regularyzacji funkcją dzeta. Mianowicie

,   dla  

gdzie oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej ,   jest funkcją dzeta Riemanna.

Suma ta jest rozbieżna dla , jednak jej przedłużenie analityczne daje dla argumentu :

Fizyka[edytuj]

Szereg taki pojawia się w teorii strun bozonowych przy próbie obliczenia możliwych poziomów energetycznych strun, na przykład najniższego możliwego poziomu energetycznego. Stosując nieformalny opis, każda harmoniczna struny może być widoczna jako kolekcja niezależnych kwantowych oscylatorów harmonicznych, gdzie jest wymiarem czasoprzestrzeni. Jeśli podstawowa częstotliwość harmoniczna to to energia drgań ntej harmonicznej wynosi . Sumowanie takiego rozbieżnego szeregu prowadzi do wyniku .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • G.H. Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, 1949. LLC QA295.
  • Barton Zwiebach: A First Course in String Theory. Cambridge UP, 2004, s. 293. ISBN 0-521-83143-1.
  • A. Zee: Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP, 2003, s. 65-66. ISBN 0-691-01019-6. – opis efektu Casimira.