Abakus (liczydło)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rekonstrukcja rzymskiego abakusa z brązu

Abakus lub abak (łac. abacus, gr. ἄβαξ, ábaks)[1] – deska z wyżłobionymi rowkami, które symbolizowały kolejne potęgi dziesięciu. Ułatwiał liczenie, używany w Rzymie i Grecji od 440 p.n.e. do XVIII wieku – prekursor liczydła i maszyn liczących. Był używany także w innych krajach Europy.

Obliczeń dokonywano poprzez wkładanie i przekładanie kamyków w rowkach. Zasada liczenia była taka sama jak na liczydle. Jedną z odmian abaku, stanowiącą poważne udoskonalenie, przypisywali Rzymianie pitagorejczykom i nazwali mensa pythagoreana (stół pitagorejski). Chińczycy używali liczydła zwanego suanpan. Nie ma pewności, czy jest ono wytworem własnym pomysłowości chińskiej czy też powstało na bazie abakusa rzymskiego[2]. Odmiana japońska nosi nazwę soroban (jap. 算盤).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Początkowo ludzie do liczenia używali palców. Wraz z rozwojem handlu (handlarze potrzebowali sposobu określania zarówno liczby sprzedanych/zakupionych dóbr, jak też ich kosztu) pojawiła się potrzeba korzystania z większych liczb i zaczęto używać kamyków i patyczków do ich oznaczania. Najpierw korzystano z systemu jedynkowego (jeden kamyk oznaczający jeden obiekt), z czasem zaczęto różnicować kształty używanych przedmiotów na oznaczenie różnych rodzajów obiektów lub różnych liczności (początki systemów pozycyjnych) – kamyki w jednym kształcie oznaczające cyfrę jedności, w innym – cyfrę dziesiątek itd.

Pierwsze abakusy były bardzo nietrwałe – często rysowane w piasku lub na drewnie. Najstarszym odnalezionym przykładem abakusa jest tabliczka znaleziona w 1846 roku na wyspie Salaminie (Grecja), którą datuje się na III wiek p.n.e. Jest to marmurowa tabliczka o wysokości 149cm, szerokości 75cm i grubości 4,5cm, składająca się z dwóch grup poziomych linii (pięć w górnej części tabliczki, jedenaście w dolnej), przedzielonych pionową linią oraz trzech zestawów greckich symboli umieszczonych wzdłuż lewej, prawej oraz dolnej krawędzi płytki[3].

Abakusy nadal są powszechnie wykorzystywane przez kupców, przedsiębiorców i urzędników w Azji oraz zamiast pisemnych działań w przypadku nauczania osób niewidomych[4]. Istnieją badania wskazujące, że nawet wizualizowanie układu abakusa (szczególnie w japońskim układzie) pozwala na wykonywanie szybszych obliczeń (m.in. dlatego, że obliczenia na abakusie angażują obie półkule mózgowe, zaś pisemne – tylko lewą)[5].

Wygląd i działanie[edytuj | edytuj kod]

Abakus grecki składa się z dwóch grup poziomych linii przedzielonych pionową – na dolnych liniach odliczano mantysę liczby ułamkowej, na górnej zaś wykładnik.

Abakus rzymski składa się z kolumn odpowiadającym odpowiednim pozycjom dziesiętnym. Każda kolumna składa się z dwóch części: w dolnej jest po pięć kamyków, w górnej – dwa. Osobna kolumna służyła do reprezentacji ułamków.

Reprezentacja liczb[edytuj | edytuj kod]

Linie (umieszczone na nich kamienie) wyznaczają wartości odpowiadające kolejnym potęgom liczby 10, a przestrzeń między nimi odpowiadała za połowę wartości górnej linii.

Aby ograniczyć liczbę potrzebnych kamyków, umieszczenie ich po lewej stronie pionowej linii oznaczało wartości ujemne. Tak więc na oznaczenie liczby 9 zamiast pięciu kamyków (5+1+1+1+1) wystarczyło użyć dwóch (10-1).

Dodawanie[edytuj | edytuj kod]

Aby dodać do siebie dwie liczby, odkłada się jedną z nich na abakusie, po czym rozsuwa na boki i na środku układa drugą z nich. Dodawanie polega na połączeniu i normalizacji „zapisu”, tak aby korzystać z możliwie małej liczby kamyków:

  • jeśli na jednej wysokości po obu stronach znajduje się kamyk, oba zdejmujemy (np.: -5 + 5 = 0 lub ogólnie: - x + x = 0 = zdjęcie obu kamyków z abakusa ),
  • z dwóch kamyków po jednej stronie pomiędzy dwiema liniami jeden zdejmujemy, drugi kładziemy na linii nad nimi ( np.: -5 + (- 5) = 2*5 =10 lub ogólnie x + x = 2x = linia nad iksami ),
  • jeśli na linii znajdą się trzy kamyki po jednej stronie, jeden kładziemy nad tą linią, a dwa przenosimy na drugą stronę (3 = 5 – 2),
  • mając jeden kamyk na linii i drugi pod linią po drugiej stronie, dolny przekładamy na drugą stronę, górny zdejmujemy (10 – 5 = 5).

Odejmowanie[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ liczba ujemna jest symetrycznym odbiciem względem pionowej linii, aby uzyskać liczbę ujemną, wystarczy przemieścić kamyki na drugą stronę. Zatem aby odjąć liczbę, wystarczy dodać liczbę przeciwną.

Mnożenie[edytuj | edytuj kod]

Mnożenie na abakusie rozbija się na mnożenie przez kolejne pozycje. Liczby mnożone układamy na dwóch abakusach (lub jednym, rozdzielając je jak w przypadku innych działań), wynik zaś budujemy na kolejnym. Zaczynamy od kamyków składających się na mnożnik ułożonych na liniach abakusa. Dla każdej pozycji: kopiujemy mnożną na abakus wynikowy, za linię jednostek przyjmując linię, na której znajduje się kamyk mnożnika przez który mnożymy. Zdejmujemy kamyk z mnożnika i normalizujemy dotychczasowy wynik.

Gdy wyczerpiemy kamyki znajdujące się na liniach wyznaczających potęgi 10, pozostaje pomnożyć przez kamyki w pozycjach pomiędzy liniami. W tym celu mnożymy mnożnik przez 2 (przesuwając pozostałe kamyki na linie znajdujące się bezpośrednio nad nimi), mnożną zaś dzielimy przez 2:

  • jeśli na danej wysokości były dwa kamyki, zdejmujemy jeden z nich,
  • kamyk z linii zastępujemy jednym położonym w przestrzeni poniżej (o dwukrotnie mniejszej wartości),
  • kamyk z przestrzeni pomiędzy liniami zastępujemy dwoma położonymi na linii poniżej i jednym położonym na przestrzeni poniżej (np. 50 zastępujemy poprzez 2*10 + 5).
Mnożenie 186 * 13

Dzielenie[edytuj | edytuj kod]

Dzielenie na abakusie bazuje na mnożeniu. W miejscu wyniku mnożenia pojawia się dzielna, w miejscu mnożnej – dzielnik. Obliczenie polega na dobieraniu możliwie najwyższej pozycji kamyka w wyniku (miejsce mnożnika przy mnożeniu) i odejmowaniu wartości uzyskanej z pomnożenia tej pozycji przez dzielnik od dzielnej. Jeśli dzielna w trakcie obliczeń stanie się ujemna, następny kamyk ustawiamy po ujemnej stronie wyniku i postępujemy analogicznie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Słownik Wyrazów Obcych
  2. Jörn Lütjens, The abacus – one of the oldest calculation devices, International Meeting of Slide Rule Collectors, 20 sierpnia 2003, s. 1 (ang.).
  3. Luis Fernandes: A Brief History of the Abacus (ang.). [dostęp 2015-02-21].
  4. Terrie Terlau, Fred Gissoni: Abacus: Position Paper (ang.). [dostęp 2015-02-21].
  5. Michael C. Frank, David Barner, Representing Exact Number Visually Using Mental Abacus

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]