Aksjomat ekstensjonalności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat ekstensjonalności – jeden z aksjomatów Zermelo-Fraenkela w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermelo w 1908[1][2]. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.

Formalnie, aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu (gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym):

.

Interpretacja[edytuj]

Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:

dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli jest formułą języka teorii mnogości i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów , dla których jest spełnione , to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc "" na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:

dla wszystkich , jeśli to .

(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)

Inne sformułowania aksjomatu[edytuj]

  • Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać i wtedy aksjomat extensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:
.
  • W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
  • W teorii klas (zarówno Kelley'a-Morse'a jak i NBG) również formułuje się odpowiedni aksjomat extensjonalności. John L. Kelley[3] podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.

Przypisy

  1. Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. "Math. Ann." 65 (1908), strony 261-281.
  2. Jech, Thomas: Set theory. Wydanie drugie. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-63048-1. Strony 1 oraz 579.
  3. Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6