Aksjomat nieskończoności

Aksjomat nieskończoności – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór $X$ spełniający dwa następujące warunki:

• $\varnothing \in X,$
• $\forall _{y\in X}(S(y)\in X),$

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

$S(y)=y\cup \{y\}.$

Oznacza to, że do zbioru $X$ należą:

• $\varnothing$ nazwijmy go $A_{0},$
• $\{\varnothing \}$ nazwijmy go $A_{1},$
• $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ nazwijmy go $A_{2}$

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów $A_{0},A_{1},A_{2},\dots$ (i żadnych innych), można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory $A_{0},A_{1},A_{2},\dots$ zaś utożsamić z liczbami $0,1,2,\dots$

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

Formalne sformułowanie aksjomatu nieskończoności

Istnieje rodzina zbiorów $\mathbb {A}$ o następujących własnościach:

• $\varnothing \in \mathbb {A} ,$
• jeśli $X\in \mathbb {A} ,$ to w $\mathbb {A}$ istnieje taki element Y, że $Y=X\cup \{X\}.$

Symbolicznie:

$\exists _{\mathbb {A} }\varnothing \in \mathbb {A} \wedge \forall _{X\in \mathbb {A} }\exists _{Y\in \mathbb {A} }\forall _{x}(x\in Y\Leftrightarrow x\in X\vee x=X)$.

Zobacz też

• zbiór induktywny