Przestrzeń probabilistyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Aksjomaty Kołmogorowa)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej przebiega w trzech etapach:

  1. ustalenie niepustego zbioru zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określenie na nim σ-ciała , zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
  3. określenie na unormowanej miary miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

  • nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
    dla dowolnego zdarzenia
  • unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
  • przeliczalnej addytywność (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):

przy czym gdy

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej[edytuj | edytuj kod]

Układ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: miara – własności.

Niech

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

  • prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
  • skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
    dla przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
    przy czym jest zdarzeniem przeciwnym do
  • ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
  • monotoniczność:
    dla
  • prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

Definicje prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)[edytuj | edytuj kod]

jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru a prawdopodobieństwo dane jest wzorem

dla każdego zbioru

gdzie oznacza liczbę elementów zbioru Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie zbiór oraz zadana będzie miara na tym zbiorze tak, że miara zbioru jest skończona.

Wtedy zbiór może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary podzbioru przez miarę przestrzeni tj.

dla każdego zbioru

Np.

  • jest przedziałem jednostkowym
  • jest σ-ciałem podzbiorów przedziału które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.
  • jest miarą Lebesgue’a określoną na tj.

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

1) Niech będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś niech będzie zmienną losową. Jeżeli jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) tj.

dla dowolnego oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na

to jest miarą probabilistyczną, wobec czego również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Niech oraz jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. dla (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
    skąd Analogicznie jak w przypadku zbioru dowodzi się, że o ile stąd wynika już, że czyli

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.