Aksjomaty Kołmogorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomaty Kołmogorowa to zbiór aksjomatów leżących u podstaw teorii prawdopodobieństwa. Ich twórcą jest rosyjski matematyk Andriej Kołmogorow.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E (oznaczane jako P(E)) jest określone na pewnym σ-ciele podzbiorów przestrzeni Ω wszystkich zdarzeń elementarnych w taki sposób, że musi spełniać wszystkie aksjomaty Kołmogorowa.

Pierwszy aksjomat[edytuj]

Dla każdego zbioru E należącego do σ-ciała zachodzi:

0 \le P(E)

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia E jest liczbą rzeczywistą większą lub równą 0. (Oprócz tego z aksjomatów można wyprowadzić również nierówność P(E)\le 1.)

Drugi aksjomat (aksjomat unormowania)[edytuj]

P(\Omega) = 1\,

czyli prawdopodobieństwo, że wystąpi dowolne zdarzenie elementarne z przestrzeni Ω wynosi 1.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, unormowaną do jedności.

Pominięcie powyższego warunku unormowania prawdopodobieństwa prowadzi do błędnych obliczeń.

Trzeci aksjomat (aksjomat przeliczalnej addytywności)[edytuj]

Dla każdego przeliczalnego (skończonego lub nieskończonego) ciągu parami wykluczających się (rozłącznych) zdarzeń E1, E2, ... zachodzi równość:

P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup ...) = \sum_{i} P(E_i)

To znaczy: prawdopodobieństwo zdarzenia, które jest sumą zdarzeń rozłącznych, obliczamy jako sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń. Tę własność nazywamy też σ-addytywnością. Jeśli zdarzenia składowe nie są rozłączne, tzn. jest możliwe np. równoczesne zajście dwu lub więcej spośród zdarzeń E1, E2..., ten związek nie zachodzi.

Konsekwencje[edytuj]

Z aksjomatów Kołmogorowa wynikają użyteczne reguły, które można wykorzystać w obliczeniach.

Prawdopodobieństwo dla zbioru pustego[edytuj]

P(\varnothing)=0 .

Monotoniczność[edytuj]

Jeżeli \quad A\subseteq B to \quad P(A)\leq P(B) .

Zakres liczbowy[edytuj]

Z monotoniczności natychmiast wynika:

0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F , gdzie  F jest sigma-ciałem na  \Omega .

Bibliografia[edytuj]

  • Krysicki, Bartos, Dyczka, Królikowska, Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.

Zobacz też[edytuj]