Przestrzeń probabilistyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Aksjomaty Kołmogorowa)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej przebiega w trzech etapach:

  1. ustalenie niepustego zbioru zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określenie na nim σ-ciała , zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,,
  3. określenie na unormowanej miary – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

  • nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
    dla dowolnego zdarzenia
  • unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
  • przeliczalnej addytywność (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):

przy czym gdy

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej[edytuj | edytuj kod]

Układ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: miara – własności.

Niech

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

  • prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
  • skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
    dla przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
    przy czym jest zdarzeniem przeciwnym do
  • ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
  • monotoniczność:
    dla
  • prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

1) Jeśli jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru a prawdopodobieństwo dane jest wzorem

dla każdego zbioru

gdzie oznacza liczbę elementów zbioru Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

2) Jeśli:

  • jest przedziałem jednostkowym
  • jest σ-ciałem podzbiorów przedziału które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.
  • jest miarą Lebesgue’a określoną na tj.

to przestrzeń probabilistyczna realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

W ogólności modelem geometrycznym danego doświadczenia jest σ-ciało podzbiorów mierzalnych danego zbioru skończonej miary, który pełni rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary danego podzbioru przez miarę przestrzeni

3) Niech będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś niech będzie zmienną losową. Jeżeli jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) tj.

dla dowolnego oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na

to jest miarą probabilistyczną, wobec czego również jest przestrzenią probabilistyczną.

4) Oprócz wymienionych wyżej do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Niech oraz jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. dla (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
    skąd Analogicznie jak w przypadku zbioru dowodzi się, że o ile stąd wynika już, że czyli

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.