Aksjomaty oddzielania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Schemat aksjomatów oddzielania (aksjomaty wyżej są silniejsze, linia oznacza wynikanie).

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

W początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T2 (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

Ciąg główny aksjomatów oddzielania[edytuj | edytuj kod]

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów jest ustalone.

Niech będzie topologią na zbiorze Powiemy, że przestrzeń topologiczna spełnia aksjomat:

  • T0, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty w który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;
  • T1, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty taki, że ale
  • T2, jeśli
dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne zbiory otwarte i takie, że i
  • T3, jeśli
spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i
spełnia aksjomat i dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć funkcję ciągłą taką, że i dla wszystkich punktów
  • T4, jeśli
spełnia aksjomat i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych (czyli ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie, że i
  • T5, jeśli
każda podprzestrzeń przestrzeni spełnia aksjomat
  • T6, jeśli
spełnia aksjomat i każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić „przestrzeń spełnia aksjomat ” mówimy po prostu, że jest Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

gdzie należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat spełnia także aksjomat . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

  • Aksjomaty własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu czyli dziedzicznej normalności.
  • Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności są zaliczane do aksjomatów oddzielania:
Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów takich, że istnieją zbiory otwarte takie, że i
Przestrzeń T1 spełnia aksjomat wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłacznych domkniętych zbiorów istnieje funkcja ciągła taka, że i

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]