Gołowin pochodzi z robotniczej rodziny z miasta Kałtan w Obwodzie kemerowskim. Gdy Aleksandr miał 6 lat, jego ojciec Siergiej zapisał go do miejscowej szkoły sportowej (ros.ДЮСШ)[1]. Tam Sasza trenował piłką nożną, a także grał w tenisa i w szachy. Ukończył szkołę średnią, następnie dołączył do drużyny juniorów Kuzbassu Nowokuźnieck[2]. Gdy drużyna ta pojechała na turniej odbywający się w Krymsku, Gołowin został zauważony przez skautów CSKA Moskwa.
Od 2012 w CSKA Moskwa. Od 2014 w składzie pierwszej drużyny CSKA. 14 marca 2015 zadebiutował w Priemjer-Lidze w wygranym 4–0 domowym meczu z Mordowiją Sarańsk. W 72. minucie tego meczu zmienił Bibrasa Natcho. W sezonie 2014/15 wywalczył z CSKA wicemistrzostwo Rosji, a w sezonie 2015/2016 został mistrzem kraju.
W letnim oknie transferowym w 2017 Arsenal oferował CSKA 8 mln £ za transfer Gołowina, jednak moskiewski klub odrzucił tę propozycję[3].
Gołowin został uznany w głosowaniu kibiców najlepszym zawodnikiem CSKA w sezonie 2017/18[4]. Według danych Yandexu jego był jednym z najczęściej wyszukiwanych przez rosyjskich fanów piłkarzy w Internecie[5].
Latem 2018 przeszedł do AS Monaco i podpisał 5-letni kontrakt[6]. Klub z Ligue 1, którego wiceprezesem był wówczas Rosjanin Wadim Wasiljew, zapłacił za ten transfer 30 milionów €[7]. Zainteresowany pozyskaniem zawodnika był w tym czasie też Everton[8].
W reprezentacji Rosji zadebiutował 7 czerwca 2015 roku w wygranym 4–2 towarzyskim meczu z Białorusią, rozegranym w Chimkach. W 61. minucie tego meczu zmienił Romana Szyrokowa, a w 77. minucie strzelił swojego debiutanckiego gola w kadrze narodowej[10].
