Algebra Liego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Algebra Liego – to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych i jednocześnie algebra, w której zdefiniowano mnożenie elementów zwane nawiasem Liego (patrz niżej). Algebry Liego są związane z grupami Liego.

Elementy bazy algebry Liego nazywa się generatorami grupy Liego – za ich pomocą których można obliczyć dowolny element grupy Liego poprzez eksponentę. Każdej grupie Liego odpowiada algebra Liego i odwrotnie. Odpowiedniość ta pozwala badać grupy Liego za pomocą badania algebr Liego.

Wymiar algebry Liego jest równy liczbie niezależnych generatorów.

Rzeczywistą algebrą Liego nazywa się algebrę Liego, jeśli jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych (analogicznie definiuje się zespoloną algebrę Liego).

Każda algebra Liego może być reprezentowaną za pomocą zbioru macierzy kwadratowych. Dany wybór zbiór macierzy nazywa się reprezentacją algebry. Przy tym za chodzi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość reprezentacją algebry Liego zwana homeomorfizmem algebry z przestrzenią wektorową macierzy kwadratowych (jest to wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie elementów algebry macierzom kwadratowym, zachowujące przy tym działania dodawania i mnożenia). Wybór wymiaru macierzy jest przy tym dowolny – stąd istnieje wiele możliwych reprezentacji danej algebry. Algebry Liego oraz ich reprezentacje są używane w fizyce, w szczególności w mechanice kwantowej i fizyce cząstek elementarnych. Mają też zastosowanie w szukaniu rozwiązań układów równań nieliniowych itd.

Nazwa algebr pochodzi od Sophusa Lie. Dawniej nazywano je grupami infinitesimalnymi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Algebra Liego nad ciałem (zwykle lub ) to przestrzeń liniowa nad ciałem w której dodatkowo określone jest działanie dwuargumentowe nazywane nawiasem Liego, spełniające dla dowolnych i warunki:

  • dwuliniowość:
  • antysymetryczność:
  • tożsamość Jacobiego:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie wektorowe[edytuj | edytuj kod]

  • Wektory przestrzeni z nawiasem Liego zdefiniowanym tak, dla dowolnych wektorów zeruje się, tj. tworzą algebrę Liego. Dowód: w każdym z warunków, jakie ma spełniać mnożenie otrzyma się tożsamość, gdyż każdy nawias Liego występujący tam zeruje się.
  • Macierze kwadratowe o elementach rzeczywistych, z nawiasem Liego będącym komutatorem macierzy, tj.

tworzą algebrę Liego pełnej grupy liniowej macierzy odwracalnych (tj. takich, dla których wyznacznik )

  • Macierze antyhermitowskie wymiaru tworzą rzeczywistą algebrę Liego z nawiasem Liego zadanym przez komutator macierzy i tworzy rzeczywistą algebrę Liego dla grupy macierzy unitarnych

Podprzestrzenie[edytuj | edytuj kod]

  • W ogólnej liniowej algebrze Liego zawarta jest specjalna liniowa algebra Liego złożona z macierzy o śladzie równym zeru.

Grupy macierzy rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa Liego definiuje powiązaną z nią algebrę Liego Zależność ogólna jest nieco złożona, ale w przypadku macierzy rzeczywistych / zespolonych może być sformułowana poprzez eksponentę macierzy: algebrę Liego tworzą te macierze dla których jest macierzą należącą do grupy dla wszystkich liczb rzeczywistych / zespolonych.

Przykłady nawiasów Liego[edytuj | edytuj kod]

Nawias równy zero[edytuj | edytuj kod]

Dowolna przestrzeń wektorowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dla wszystkich elementów jako równy zero, tj.

jest algebrą Liego. Taka algebra Liego jest przemienna (abelowa).

Iloczyn wektorowy[edytuj | edytuj kod]

Jako nawias Liego w przestrzeni wektorowej przyjmujemy iloczyn wektorowy elementów, tj.

Łatwo sprawdzić, że iloczyn wektorowy spełnia warunki definicji nawiasu Liego.

Komutator[edytuj | edytuj kod]

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna i taka, w której nawias Liego jest zdefiniowany jako komutator, tj.

Komutator spełnia wszystkie warunki definicji nawiasu Liego.

Algebry Liego grup macierzy rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

W przypadku algebry Liego określonej na grupie macierzy nawias Liego jest zadawany przez komutator macierzy Zauważmy, że komutator ten sam jest macierzą.

Grupy macierzy tworzące algebry Liego:

  • grupy macierzy odwracalnych nad pierścieniem łącznym z jedynką,
  • grupy macierzy specjalnych odwracalnych (o wyznaczniku 1),
  • grupy macierzy ortogonalnych
  • grupy macierzy specjalnych ortogonalnych (o wyznaczniku 1),

Algebry Liego grup macierzy o elementach zespolonych[edytuj | edytuj kod]

1) algebra
– zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru o elementach zespolonych,
2) algebra
– zbiór macierzy zespolonych o śladzie równym zeru; podalgebra algebry
3) algebra
– zbiór macierzy antyhermitowskich; podalgebra algebry
4) algebra
– podalgebra algebry będąca przecięciem dwóch powyższych,
5) algebra
– algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

Generatory algebry i jej wymiar. Stałe struktury[edytuj | edytuj kod]

(1) Generatorami algebry Liego nazywa się zbiór liniowo niezależnych elementów takich że każdy element algebry wyraża się poprzez kombinację liniową generatorów, tj. Generatory tworzą więc bazę przestrzeni liniowej. Generatory pozwalają też tworzyć dowolny element grupy Liego, związanej z daną algebrą Liego, poprzez obliczenie eksponenty, tj.

(2) Wymiar algebry Liego jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych generatorów.

(3) Zbiór generatorów charakteryzują warunki komutacyjne,, tj. komutator dowolnych dwóch generatorów jest liniową kombinacją wszystkich generatorów

przy czym współczynniki są liczbami – nazywa się je stałymi struktury algebry Liego. Algebra o wymiarze ma stałych struktury.

(4) Dobór generatorów nie jest unikalny (podobnie jak dobór bazy przestrzeni wektorowej). Unikalność danej algebry jednoznacznie charakteryzują stałe struktury.

(5) Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra jest grupą abelową (przemienną).

Przykłady algebr Liego i ich generatorów[edytuj | edytuj kod]

Algebra Heisenberga H3(R)[edytuj | edytuj kod]

(a) Jest to 3-wymiarowa algebra Liego o generatorach oraz nawiasach Liego zdefiniowanych następująco:

(b) W przestrzeni macierzy 3×3 algebrę tą reprezentują górnotrójkątne macierze:

a nawias Liego dany jest przez komutator macierzy.

Element grupy Liego odpowiadającej tej algebrze są macierzami górnotrójkątnymi postaci

– macierz tę można otrzymać mnożąc eksponenty macierzy generatorów oraz tj.

Uwaga: Ważna jest tu kolejność mnożenia eksponentów gdyż przedstawiają one macierze, których iloczyn na ogół nie jest przemienny.

Algebra translacji w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Grupa translacji w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory które pozwalają generować translacje odpowiednio w kierunku osi i Generatory te tworzą algebrę Liego o komutatorach:

Jest to więc algebra przemienna.

Algebra so(3) grupy obrotów[edytuj | edytuj kod]

(1) Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy generatory które pozwalają generować obroty odpowiednio wokół osi i tj.

Generatory te tworzą bazę algebry Liego

Komutatory generatorów mają wartości

tj.

Wynika stąd, że stałe struktury algebry określone są przez symbol Leviego-Civity

(2) Dowolny element grupy obrotów można otrzymać za pomocą eksponenty:

gdzie – parametry obrotu.

Algebra [edytuj | edytuj kod]

(1) Algebra to 3-wymiarowa algebra, reprezentowana za pomocą bezśladowych macierzy hermitowskich.

(2) Jej bazę dla reprezentacji wyrażonej przez macierze wymiaru stanowią np.

(są to macierze Pauliego dzielone przez 2).

(3) Związki komutacyjne pomiędzy generatorami

określają stałe struktury algebry

(4) Algebra ta generuje grupę Liego SU(2) specjalnych macierzy unitarnych. Przy czym macierze unitarne grupy wymiaru można otrzymuje się za pomocą eksponenty:

gdzie:

  • – parametry
  • – generatory, macierze wymiaru tworzące bazę algebry su(2).

(5) Widać, że stałe struktury algebry su(2) są identyczne jak dla algebry so(3) grupy obrotów w przestrzeni 3-wymiarowej. Algebra su(2) stanowi więc algebrę nakrywającą grupy obrotów, przy czym każdej macierzy obrotu odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwie macierze generowane przez su(2).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
  • J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce współczesnej, PWN, Warszawa 1967.
  • Jean-Pierre Serre, Lie Algebras and Lie Groups, 2nd edition, Springer, 2006, ​ISBN 3-540-55008-9​.