Algebra Liego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra Liegostruktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego, rozwiązywania układów nieliniowych etc.

Definicja[edytuj]

Algebra Liego nad ciałem (zwykle lub ) to przestrzeń liniowa nad ciałem z określonym działaniem dwuargumentowym , nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych i następujące warunki:

  • dwuliniowość:
    ,
    ,
  • antysymetryczność:
    ,
  • tożsamość Jacobiego

Generatory i wymiar[edytuj]

Elementy należące do algebry Liego nazywamy jej generatorami, jeżeli najmniejsza podalgebra algebry zawierająca te generatory jest samą algebrą .

Wymiar algebry Liego jest wymiarem elementów tej algebry traktowanych jako tworzących przestrzeń wektorową nad tym samym ciałem F.

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie wektorowe[edytuj]

  • Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rn to po prostu Rn z nawiasem Liego równym 0:

[edytuj]

  • Algebra Liego pełnej grupy liniowej GL(n,R) macierzy odwracalnych to przestrzeń wektorowa Mn(R) kwadratowych macierzy n×n z nawiasem Liego

  • Przestrzeń wektorowa wszystkich macierzy antyhermitowskich n × n jest zamknięta ze względu na komutator i tworzy rzeczywistą algebrę Liego oznaczaną symbolem Jest to algebra grupy macierzy unitarnych U(n).

Podprzestrzenie[edytuj]

  • Podprzestrzenie ogólnej liniowej algebry Liego złożone z macierzy o śladzie równym zeru tworzą podalgebrę zwaną specjalną algebrą Liego, oznaczaną symbolem

Grupy macierzy rzeczywistych[edytuj]

Każda grupa Liego definiuje powiązaną z nią algebrę Liego . Definicja ogólna jest nieco techniczna, ale w przypadku macierzy rzeczywistych może być sformułowana poprzez eksponentę macierzy: algebrę Liego  tworzą te macierze X dla których jest macierzą należącą do grupy dla wszystkich liczb rzeczywistych .

Przemienna algebra Liego[edytuj]

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

Iloczyn wektorowy[edytuj]

Nawias Liego w przestrzeni definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

Komutator[edytuj]

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

.

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Algebry Liego grup macierzy o elementach rzeczywistych[edytuj]

W przypadku algebry Liego określonej na grupie macierzy nawias Liego jest zadawany przez komutator macierzy. Zauważmy, że komutator ten sam jest macierzą.

Grupy macierzy tworzące algebry Liego o elementach rzeczywistych:

Algebry Liego grup macierzy o elementach zespolonych[edytuj]

algebra  
zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru o elementach zespolonych:
algebra  
podalgebra macierzy o śladzie równym zeru;
algebra  
podalgebra macierzy antyhermitowskich;
algebra  
podalgebra będąca przecięciem dwóch powyższych;
algebra  
algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

Generatory[edytuj]

Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) . Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

.

Współczynniki nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.

Przykłady algebr Liego i ich generatorów[edytuj]

Algebra Heisenberga H3(R)[edytuj]

Jest to 3-wymiarowa algebra Liego generowana przez elementy x, y, z i następujące nawiasy Liego:

W przestrzeni 3×3 algebrę tą generują górno-trójkątne macierze i nawias Liego dany przez komutator macierzy

Każdy element tej algebry jest reprezentowany przez iloczyn eksponent generatorów grupy Liego

Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj]

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi , i . Oznaczmy je przez . Algebra Liego tej grupy to

.

Jest to więc grupa przemienna.

Obroty w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj]

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi , i . Oznaczmy je przez , , . Algebra Liego tej grupy:

,
,
.

Stałe strukturalne określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:

  • , gdy permutacja jest parzysta,
  • , gdy permutacja ta jest nieparzysta,
  • , gdy któryś ze wskaźników się powtarza.

Jeżeli obrócimy układ o w prawo wokół osi oraz w prawo wokół osi , a następnie w lewo wokół osi i w lewo wokół osi , to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o w lewo wokół osi oraz w lewo wokół osi w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.

Algebra [edytuj]

Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry

Algebra jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  • J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978
  • J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w �zyce współczesnej, PWN, Warszawa 1967.
  • Serre, Jean-Pierre. "Lie Algebras and Lie Groups", 2nd edition, Springer, 2006. ISBN 3-540-55008-9[1]